牛客网题-神秘钥匙C++版_神秘钥匙算法-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/pllysun/article/details/115696148

该博客介绍了如何使用C++解决一个概率问题，即在一个团队中随机选择人员寻找神秘钥匙，同时指定队长的方案总数。文章通过讲解和展示代码，解释了如何利用位运算和快速幂模运算（KSM）提高计算效率，以避免大数溢出，最终对结果取模。此问题涉及组合数学和算法优化，适合对算法和编程感兴趣的读者。

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牛客网题-神秘钥匙C++版

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/20701
来源：牛客网

题目描述

clccle一行𝑛个人来到了一个诡异的世界，她们需要去寻找逃出这个地方的方法——找到神秘的所罗门之匙
她们决定从中随机选出一些人去寻找钥匙，并在其中选出一个队长，clccle不想知道自己有多大几率被选中，她只想知道一共有多少种选择的方案（选出的人数要在1−𝑛之间，不同的队长算不同的方案）。
方案数对1000000007取模

输入描述:

第一行，一个整数𝑛。

输出描述:

一个整数，表示方案数。

示例1

输入

复制2

输出

复制4

说明

四种方案:(1),(2),(1,2)其中1是队长,(2,1),其中2是队长

备注:

1 ≤ 𝑛 ≤ 109

当某个人当队长时，还有N-1个人，他们可以选择出现或者不出现，也就是总共有2 ^ (N-1)种可能

总共有N个人，所以总共有N*2^(N-1)种可能

注：题目已经让你对1e9+7取模，说明数肯定非常大。这里我们就要明白取模的运算法则

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

(a - b) % p = (a % p - b % p ) % p （2）

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

其中我们只要关注第“3”条法则即可：(a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，我们仔细研究一下这个运算法则，会发现多个因子连续的乘积取模的结果等于每个因子取模后的乘积再取模的结果。也就是说，我们如果要求：

(a*b*c)%d=(a%d*b%d*c%d)%d;

因此，我们可以借助这个法则，只需要在循环乘积的每一步都提前进行“取模”运算，而不是等到最后直接对结果“取模”，也能达到同样的效果。（这里引用了https://blog.youkuaiyun.com/qq_19782019/article/details/85621386的说明）

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const long long mod = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
ll KSM(ll a, ll b)
{
    ll sum = 1;
    while (b) 
    {
        if (b&1)sum = sum * a % mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return sum;
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
    cout << n * KSM(2, (n - 1)) % mod << endl;
}

为了进一步提高运算效率使用了位运算