动态规划问题的思考与解决范式

一、如何判断是否是动态规划问题？

动态规划问题的核心特征可归纳为以下两点：

1. 重叠子问题 (Overlapping Subproblems)

• 问题的解需要反复求解相同的子问题， 导致递归解法效率低下。
  典型场景：如斐波那契数列（f(n) = f(n-1) + f(n-2)），计算f(5)需多次重复计算f(3)、f(2)等。

2. 最优子结构 (Optimal Substructure)

• 大问题的最优解可由子问题的最优解推导而来，且子问题间独立。 用数学规划的话说，这是一种凸问题。
  典型场景：最短路径问题中，若A→C的最短路径经过B，则A→B和B→C的路径也必须是最短的。

常见动态规划问题类型：

• 最值问题（最大/最小和、最长子序列等）
• 计数问题（路径总数、组合方式等）
• 存在性判断（能否达到目标状态、是否可行等）

二、动态规划的解题步骤

按照以下四步范式可系统解决绝大多数动态规划问题：

1. 定义状态 (State Definition)

• 目标：将问题抽象为一个状态表达式， 通常用dp[i][j]表示子问题的解。
• 关键点：
  • 状态需能唯一描述子问题的特征（如位置、剩余容量、已选元素等）。
  • 维度由问题复杂度决定（一维、二维或更高）。
• 示例：
  • 背包问题：dp[i][w]表示前i个物品装入容量$w$的背包的最大价值。
  • 最长递增子序列：dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列长度。

2. 推导状态转移方程 (State Transition Equation)

• 目标：找到从子问题到大问题的递推关系， 即如何用已知状态推导新状态。
• 关键问题：
  • 当前状态如何依赖前一状态？
  • 是否需遍历所有可能的转移路径并取最优解？
• 示例：
  • 斐波那契数列：$dp[i]=dp[i-1]$