动态规划巧解子集分割问题，C++20 协程：在 AI 推理引擎中的深度应用。

问题描述

力扣 416. 分割等和子集要求判断一个非空数组是否可以分成两个子集，使得两个子集的元素和相等。例如，给定数组 [1, 5, 11, 5]，可以分割为 [1, 5, 5] 和 [11]，两个子集的和均为 11。

解题思路

动态规划是解决此问题的有效方法。关键在于将问题转化为背包问题：是否能从数组中选出若干元素，使其和等于数组总和的一半。若总和为奇数，直接返回 false；否则，问题转化为 0-1 背包问题。

动态规划实现

定义一个布尔型动态规划数组 dp，其中 dp[j] 表示是否存在子集的和为 j。初始化时，dp[0] 为 true，其余为 false。遍历数组中的每个元素，更新 dp 数组。

def canPartition(nums):
    total_sum = sum(nums)
    if total_sum % 2 != 0:
        return False
    target = total_sum // 2
    dp = [False] * (target + 1)
    dp[0] = True
    for num in nums:
        for j in range(target, num - 1, -1):
            dp[j] = dp[j] or dp[j - num]
    return dp[target]

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n * target)，其中 n 是数组长度，target 是数组总和的一半。
• 空间复杂度：O(target)，动态规划数组的大小为 target + 1。

示例分析

以 nums = [1, 5, 11, 5] 为例：

1. 总和为 22，目标 target 为 11。
2. 初始化 dp 为 [True, False, ..., False]（长度为 12）。
3. 遍历 nums 更新 dp：
   • 处理 1 后，dp[1] 变为 True。
   • 处理 5 后，dp[5] 和 dp[6] 变为 True。
   • 处理 11 后，dp[11] 变为 True。
4. 最终 dp[11] 为 True，返回 true。

注意事项

• 数组总和必须为偶数才能分割。
• 动态规划数组需从后往前更新，避免重复计算。
• 当 target 较大时，需注意空间优化。