递推关系中的数列通项

http://blog.youkuaiyun.com/pipisorry/article/details/78142983

普通方法

叠加法/叠乘法

公式法

阶差法

待定系数法

辅助数列法

归纳、猜想

倒数法

[求解数列通项公式的常用方法]

某小皮

特征方程法

（一阶线性递推式）

设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式？

特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.

定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.

证明：因为由特征方程得作换元则

当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）

Note: 本质是就是带有不定项的辅助数列法嘛。

示例

例1．已知数列满足：求。

解：作方程

当时，

数列是以为公比的等比数列.于是

（二阶线性递推式）

定理2：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。

若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；

当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。

示例

例3：已知数列满足，求数列的通项公式。

解法一（待定系数——迭加法）

由，得，且。

则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得

，

，

……

把以上各式相加，得

。

解法二（特征根法）：

数列： 的特征方程是：。

,

又由，于是

故

(分式递推式)

定理3：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.

（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，

若则

若，则其中

特别地，当存在使b_n0 = 0时，无穷数列不存在.

（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，

其中

示例

例3、已知数列满足性质：对于且求的通项公式.

解:依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有

∴

∴即

[特征方程法求递推数列的通项公式]

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