练车加端盘子也挡不住我学习系列——欧几里得算法求解最大公约数及最小公倍数

最大公约数问题

正整数a和b的最大公约数是指正整数a和b所有公约数中最大的那个公约数。
一般用gcd(a,b)来表示a和b的最大公约数，而求解最大公约数常用欧几里得算法(辗转相除法)。

欧几里得算法

证明：有a=kb+r，其中k和r分别为a除以b得到的商和余数。
则有 r=a-kb成立。
设d是a和b的一个公约数。
那么可得r%d=a%d-kb%d，即可得d也是r的一个公约数。
又因为r=a%b，则d为b和a%b的一个公约数
由d的任意性可得，a和b的公约数都是b和a%b的公约数。
同理也可证b和a%b的公约数都是a和b的公约数。
因此a和b的公约数与b和a%b的公约数全部相等。
故其最大公约数也相等。即有gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

算法思路

通过以上定理可以发现，欧几里得算法可以很好的缩小数据规模，并且减小的非常快，总所周知：0和任意整数a的最大公约数都是a，这个可以当做递归边界！
所以我们可以得到：

• 递归式：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
• 递归边界：gcd(a,0)=a

【codeup 1818】最大公约数

题目描述

输入两个正整数，求其最大公约数

输入

测试数据有多组，每组输入两个正整数。

输出

对于每组输入，请输出最大公约数。

样例输入

49 14

样例输出

7

实现代码

#include<stdio.h>
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    int a,b;
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)//检测到结束符的时候才结束循环
    {
        printf("%d\n",gcd(a,b));
    }
    return 0;
}

最小公倍数问题

在欧几里得算法求解最大公约数的基础上，我们很快的得到两个数的最小公倍数。

实现思路

给定两个整数a和b，假定其最大公约数为d。
则a=d×a1,b=d×b1。
由于d为重复部分，那么我们便可得两数最小公倍数为a* b/d。但考虑到溢出问题，一般我们把他表示成a/d*b的形式
解决此类问题时，需要先实现求解最大公约数，之后求解最小公倍数便简单多了！