LeetCode——Climbing Stairs

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

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分析思路与Unique Path一样：

位置n只能由n-1或者n-2到达，假设有f[i]种方法到达位置i，于是：f[n] = f[n - 1] + f[n - 2]。

这就是我们熟悉的斐波拉切数列。

最直接的方法是O(n)，有一种利用矩阵的做法，时间复杂度是O(logN)。

构造一个2×2的矩阵：

| 1 1 |

| 1 0 |

| 1 1 | * | f[n-1] | = | f[n - 1] + f[n - 2] | = | f[n]     | 

| 1 0 |    | f[n-2] |    | f[n - 1]                 |    | f[n-1] |

所以假设我们要求f[n]，只需求出这个2×2的矩阵的n-1次幂，然后乘以一个由f[1], f[0]构成的2×1矩阵。

求幂的过程可以采用二分完成，所以这个算法的复杂度为O(logN)。

不过这题我的代码采用的是最简单的O(n)的算法：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        // Start typing your C/C++ solution below
        // DO NOT write int main() function
        if (n == 1 || n == 2) {
            return n == 1 ? 1 : 2;
        }
        int a = 2, b = 1, c;
        for (int i = 0; i < n - 2; i++) {
            c = a + b;
            b = a;
            a = c; 
        }
        return a;
    }
};