44、量子抗性密码学的多种方法

最新推荐文章于 2025-11-14 01:44:18 发布

PEPSI

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分类专栏：现代密码学精要解读文章标签：量子抗性密码学 Peikert环算法 RLWE-KEX

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量子抗性密码学的多种方法

1. Peikert环算法

Peikert环算法用于密钥分发，类似于Diffie - Hellman算法。它有多种变体，如环学习带误差密钥交换算法（RLWE - KEX），该算法旨在抵御量子计算机攻击。

环学习带误差（RLWE）基于多项式环，多项式通常用符号 Ф(x) 表示，系数在整数模q的域中，乘法和加法都要对 Ф(x) 取模。

1.1 分圆多项式

分圆多项式的复数根是单位原根。n次单位根是满足方程 (x^n = 1) 的数x。若一个单位根不是更小的m次单位根，则它是单位原根，需满足 (x^m \neq 1)（(m = 1,2,3,\cdots,n - 1)）。n次分圆多项式由公式 (\varPhi_n(x)) 给出。

1.2 密钥生成步骤

参与方：通常有发起方（用I表示）和响应方（用R表示），双方都知道q、n和a(x)的值，并能根据参数为α的分布 (X_α) 生成小多项式。q是质数，a(x) 是双方共享的固定多项式。
发起方操作：
1. 生成两个系数较小的多项式 (s_I) 和 (e_I)。
2. 计算 (p_I = a s_I + e_I)。
3. 发起方将 (p_I) 发送给响应方。
响应方操作：
1. 生成两个多项式 (s_R) 和 (e_R)。
2. 计算 (p_R = a s_R + e_R)。
3. 从 (X_α) 生成小的 (e’_R)。
4. 计算 (k_R = p_I s_R + e’_R = a s_I s_R + e_I s_R + e’_R)。
5. 使用信号函数：
  - 定义子集 (E = {z \in Z_q : -\frac{q}{4} < z \leq \frac{q}{4}})。
  - 信号函数 (S(v)) ：若 (v \in E)，则 (S(v)=1)；否则 (S(v)=0)。
  - 对 (k_R) 的每个系数应用信号函数得到 (w = S(k_R))。
  - 计算响应方的密钥流 (sk_R = k_R \oplus w \bmod 2)。
6. 响应方将w和 (p_R) 发送给发起方。
发起方后续操作：
1. 从 (X_α) 取样本 (e’_I)。
2. 计算 (K_I = p_R s_I + e’_I)。
3. (sK_I \bmod 2 (K_I, w)) 是发起方的密钥流。

该密钥交换算法的安全性取决于参数大小，常见建议参数如 (n = 1024)，(q = 40961) 和 (\varPhi(x)=x^{1024}+1)。

2. 解决格问题

格基约简算法（如Lenstra - Lenstra - Lovász（LLL）或Block Korkin - Zolotarev（BKZ））用于将B矩阵基约简为另一个基，形成相同的格，但基向量“长度”更小。格约简算法通常基于Gram - Schmidt正交化和分解。

格基约简的概念是，给定整数格基作为输入，尝试找到另一个向量更短且近乎正交的基，这会创建一个比原问题更容易解决的数学问题，应用于密码学中可增加推导出私钥的概率。

3. Lenstra - Lenstra - Lovász（LLL）算法

LLL算法能在多项式时间内找到一个近似最短向量，保证在实际最短向量的 ((\frac{2}{3})^n) 因子范围内，产生格的“约简”基。

3.1 算法步骤

前提条件：有格L和基 (B = {b_1, b_2, \cdots, b_d})，其具有n维整数坐标且 (d \leq n)。
计算Gram - Schmidt正交基 (B^ ={b_1^ , b_2^ , \cdots, b_n^ })。
定义投影算子：(\text{proj}_{u}(v)=\frac{\langle u, v\rangle}{\langle u, u\rangle}u)，其中 (\langle u, v\rangle) 表示向量u和v的内积。
计算Gram - Schmidt系数：(\mu_{i,j}=\frac{\langle b_i, b_j^ \rangle}{\langle b_j^ , b_j^*\rangle})（(1 \leq j < i \leq n)）。
约简条件：若存在参数δ，满足：
1. 对于 (1 \leq j \leq i \leq n)，(|\mu_{i,j}| \leq 0.5)。
2. 对于 (k = 2, 3, \cdots, n)，(\delta |b_k^ |^2 + \mu_{k,k - 1}^2 |b_{k - 1}^ |^2 \geq |b_k^*|^2)。

LLL算法的关键在于找到合适的参数δ，Lenstra等人最初使用 (\delta = \frac{3}{4})，也有人使用 (\delta = 1) 和 (\delta=\frac{1}{4})。格约简（尤其是LLL）不一定能破解算法，只是有一定概率，且即使有效也可能需要大量时间。

下面是密钥生成步骤的mermaid流程图：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B(发起方生成 \(s_I\) 和 \(e_I\)):::process
    B --> C(计算 \(p_I = a s_I + e_I\)):::process
    C --> D(发起方发送 \(p_I\) 给响应方):::process
    D --> E(响应方生成 \(s_R\) 和 \(e_R\)):::process
    E --> F(计算 \(p_R = a s_R + e_R\)):::process
    F --> G(响应方生成 \(e'_R\)):::process
    G --> H(计算 \(k_R = p_I s_R + e'_R\)):::process
    H --> I(使用信号函数计算w):::process
    I --> J(计算 \(sk_R = k_R \oplus w \bmod 2\)):::process
    J --> K(响应方发送w和 \(p_R\) 给发起方):::process
    K --> L(发起方生成 \(e'_I\)):::process
    L --> M(计算 \(K_I = p_R s_I + e'_I\)):::process
    M --> N(计算发起方密钥流 \(sK_I \bmod 2 (K_I, w)\)):::process
    N --> O([结束]):::startend

4. 多元密码学

多元密码学是基于有限域F上的多元多项式的密码原语，这些算法被提议为量子抗性算法，部分算法是NIST寻求量子抗性标准项目的一部分。

4.1 相关数学概念

域：是一个代数系统，包含一个集合、每个运算的单位元、两个运算及其逆运算。有限域是有限的域。
扩展域：若有域F和 (E \subseteq F)，且E的运算与F相同，则E是F的子域，F是E的扩展域。
多项式：
- 一元多项式：如 (x^2 + 3x + 12)，只有一个变量。
- 多元多项式：如 (x^2 + 3y + z + 12)，有多个变量。
多元二次方程组问题（MQ）：求解 (p_1(x) = p_2(x) = \cdots = p_m(x) = 0) 的系统，其中每个 (p_i) 是关于 (x=(x_1, \cdots, x_n)) 的二次式，所有系数和变量都在有q个元素的域 (F_q) 中。
陷门单向函数：在一个方向上相对容易计算，但在另一个方向上计算不可行。多元密码学使用多元二次多项式形式的陷门单向函数，公钥由一组二次多项式 (P = {p_1(w_1, \cdots, w_n), \cdots, p_m(w_1, \cdots, w_n)}) 给出，每个 (p_i) 是关于 (w=(w_1, \cdots, w_n)) 的非线性多项式。

下面是数学概念的总结表格：
| 概念 | 定义 |
| ---- | ---- |
| 域 | 代数系统，含集合、单位元、两个运算及逆运算 |
| 有限域 | 有限的域 |
| 扩展域 | 若 (E \subseteq F) 且运算相同，E是F子域，F是E扩展域 |
| 一元多项式 | 只有一个变量的多项式 |
| 多元多项式 | 有多个变量的多项式 |
| 多元二次方程组问题（MQ） | 求解 (p_1(x) = \cdots = p_m(x) = 0) 的系统，(p_i) 是二次式 |
| 陷门单向函数 | 一个方向易算，另一方向难算的函数 |

5. 多元密码学的应用与挑战

多元密码学在量子抗性密码学领域具有重要地位，但也面临着一些应用上的挑战。

5.1 应用场景

数字签名 ：多元密码学可用于生成数字签名，确保消息的真实性和完整性。由于其基于多元多项式的特性，在抵抗量子计算机攻击方面具有潜力。例如，在一些对安全性要求较高的金融交易中，使用多元密码学的数字签名可以防止量子计算机破解签名，保障交易的安全。
密钥交换 ：类似于Peikert环算法的密钥交换功能，多元密码学也可以用于安全地交换密钥。双方通过使用基于多元多项式的陷门单向函数，在不安全的信道上建立共享密钥，用于后续的加密通信。

5.2 面临的挑战

参数选择 ：如同Peikert环算法中参数大小对安全性的影响，多元密码学中参数的选择也至关重要。合适的参数可以保证算法的安全性和效率，但找到最优的参数组合并非易事。例如，在选择有限域的大小、多项式的次数等参数时，需要综合考虑安全性和计算复杂度。
算法效率 ：多元密码学中的一些算法在计算上可能较为复杂，导致效率较低。特别是在处理大规模数据时，算法的执行时间可能会较长，影响系统的性能。因此，如何提高算法的效率是一个亟待解决的问题。

6. 量子抗性密码学的未来展望

随着量子计算机技术的不断发展，量子抗性密码学的研究变得越来越重要。未来，我们可以期待以下几个方面的发展。

6.1 算法优化

不断改进现有的量子抗性密码算法，提高其安全性和效率。例如，对Peikert环算法和多元密码学算法进行优化，减少计算复杂度，提高密钥生成和交换的速度。
探索新的算法和技术，以应对不断变化的安全挑战。可能会有更多基于不同数学原理的量子抗性密码算法被提出和研究。

6.2 标准化

推动量子抗性密码算法的标准化工作。NIST等组织正在积极寻求量子抗性标准，未来可能会有更多的标准和规范出台，促进量子抗性密码学的广泛应用。
加强国际间的合作与交流，确保不同国家和地区在量子抗性密码学方面的标准一致，提高全球信息安全水平。

6.3 应用拓展

将量子抗性密码学应用到更多的领域，如物联网、云计算、区块链等。这些领域对信息安全的要求越来越高，量子抗性密码学可以为其提供更可靠的安全保障。
结合其他安全技术，如人工智能、机器学习等，进一步提升信息安全的防护能力。

下面是量子抗性密码学未来发展的mermaid流程图：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B(算法优化):::process
    B --> C(标准化):::process
    C --> D(应用拓展):::process
    D --> E([结束]):::startend

7. 总结

量子抗性密码学是应对量子计算机威胁的重要研究领域。本文介绍了Peikert环算法、解决格问题的方法、LLL算法以及多元密码学等多种量子抗性密码学的方法。

Peikert环算法通过环学习带误差的方式实现密钥分发，具有抵御量子计算机攻击的能力，其密钥生成过程较为复杂，安全性依赖于参数的选择。
解决格问题的格基约简算法可以将格基约简为更短的向量，增加推导出私钥的概率，但不一定能破解算法。
LLL算法是一种常用的格约简算法，能在多项式时间内找到近似最短向量，但关键在于找到合适的参数。
多元密码学基于有限域上的多元多项式，使用陷门单向函数，可用于数字签名和密钥交换等场景，但面临参数选择和算法效率等挑战。

未来，量子抗性密码学将在算法优化、标准化和应用拓展等方面取得更多的进展，为信息安全提供更可靠的保障。

下面是几种量子抗性密码学方法的对比表格：
| 方法 | 原理 | 应用场景 | 挑战 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| Peikert环算法 | 环学习带误差，基于多项式环 | 密钥分发 | 参数选择影响安全性 |
| 格基约简算法 | 基于Gram - Schmidt正交化和分解，约简格基 | 破解密码算法（有概率） | 不一定能破解，耗时 |
| LLL算法 | 在多项式时间内找近似最短向量 | 格约简 | 找到合适参数困难 |
| 多元密码学 | 基于有限域上的多元多项式，使用陷门单向函数 | 数字签名、密钥交换 | 参数选择和算法效率问题 |