16、算法与密码学基础：从排序到加密的全面解析

算法与密码学基础：从排序到加密的全面解析

在计算机科学和密码学领域，算法是解决各种问题的核心工具。本文将带您深入了解几种重要的算法，包括排序算法、欧几里得算法，以及算法设计的常见方法，同时介绍密码学中的对称加密和密钥相关知识。

排序算法：冒泡排序

冒泡排序是一种常见但效率较低的排序算法。在排序过程中，较大的值会“浮”到列表的末尾，而较小的值会“沉”到列表的开头，这也是该算法名称的由来。

复杂度分析

• 最佳情况 ：当列表已经有序时，冒泡排序的复杂度接近常数级 $O(n)$。
• 一般情况 ：复杂度为 $O(n^2)$。

尽管冒泡排序速度较慢，但由于其实现简单，许多对算法效率和分析理解不够深入的程序员仍会使用它。

欧几里得算法：求最大公约数

欧几里得算法用于求两个整数的最大公约数（GCD）。这在处理大数时非常有用，并且在密码学中也有重要应用。

算法步骤

该算法通过一系列步骤进行，每一步的输出作为下一步的输入。设 $k$ 为步骤计数器，从 0 开始。每一步（第一步之后）都从两个余数 $r_{k - 1}$ 和 $r_{k - 2}$ 开始，且 $r_{k - 1} < r_{k - 2}$。第 $k$ 步的目标是找到商 $q_k$ 和余数 $r_k$，使得 $r_{k - 2} = q_k r_{k - 1} + r_k$，其中 $r_k < r_{k - 1}$。

示例

求 $g