两个有序数组归并的平均比较次数的定量分析

假定有两个有序数组分别为

An{A1,A2,....An},其中A1<A2<...An

Bm{B1,B2,....Bm},其中B1<B2<...<Bm

归并后得到Cm+n,其中C1<C2<...<Cn

 

很容易得到

最好情况下，比较次数为min(m,n)次（后续的max(m,n)个数直接拷贝到数组C中）。

最坏情况下，比较次数为m+n-1（只有最后一个数获得直接拷贝到数组C中的机会）。

 

平均情况是怎样的呢？

引理1

假定有两个有序数组分别为

An{A1,A2,....An},其中A1<A2<...An

Bm{B1,B2,....Bm},其中B1<B2<...<Bm

归并后得到Cm+n,其中C1<C2<...<Cn

其中数组C的不同的方案数有C(m+n,m)次

【C(x,y)表示组合数，从x个元素中选择y个，y不区分顺序】

-------------------------------------------------------------------------------------------

 

假定最后留存下来直接拷贝进数组C的是B数组中的数，

则最终数组C必有形如：XXXXXXXAn Bk+1 Bk+2 ...Bm

由引理1，数组C的不同的方案数有C(n-1+k,k)。

则平均为

(1/C(m+n,n))* Σ[k=0,m-1](C(n-1+k,k)*(n+k))   【Σ[i=1,m]i = m*(m+1)/2】

= (m/C(m+n,n))*Σ[k=0,m-1]C(m+k,m)

= (m/C(m+n,n))*(C(m,m)+C(m+1,m)+...+C(m+n-1,m)

= (m/C(m+n,n))*C(m+n,m+1)

=m-m/(n+1)

 

最后剩下An的情况类似，计算得到n-n/(m+1)

 

则平均情况下比较次数为m+n-n/(m+1)-m/(n+1)

 

当m=n时，平均比较次数为2n - 2n/(n+1) ，当n很大时接近2n-2。

 

因此到这这样一个结论：归并的平均比较次数只比最好情况下少1次。

 

--------------------------------------------------------------------------------------------

注：此题是清华组合数学常见基本考题，解题用到了模型转换，格路问题，

以及C(m,m)+C(m+1,m)...+C(m+n,m) = C(m+n+1,m+1)的结论（该结论也可以通过格路问题解得）