P5815 [CQOI2010]扑克牌题解

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这篇博客介绍了如何运用二分搜索算法解决CQOI竞赛中的一道题目。博主详细阐述了正确性证明，指出由于问题的单调性，已找到的解一定是下界。在二分搜索过程中，博主给出了check函数的分析，解释了如何判断当前解是否可行，并特别注意了在二分模板中的边界条件，以避免死循环。最后，博主提供了ACCode，即通过测试的代码实现。

首先，我是从一本通那儿过来的，但因为数据范围不同，所以正解代码就不同，那里 n 极其大，但这里确是 $c_i$ 极其大，所以我们必须二分答案。代码不难，但是细节比较多。作为一名 CQ OIer，感触较深。

正确性证明

首先，我们因为要求最优解，所以说我们可以来证明一下，如果已经求出的解为 $ans$，那么答案一定大于等于它，因为这个解已经成立了，不可能取比它小的了，所以满足了单调性。

二分方法

首先，左端点为 0，表示一个都不能成套，最大区间为 $7.5\times 10^8$。最坏数据如下：

2 500000000
500000000 500000000 500000000

此时答案为 $7.5\times 10^8$ ，如果不会算，设成 $10^9$ 也无妨。

二分的 check 函数可以这样来分析：

首先，设当前判断的是 x，那么我们就可以这样想：如果它的牌本来就够，那么就用它自己的，把 joker 给其他牌，这样一定能满足，如果给了它，冗余的也没用，所以我们加上的就是 $c_i-x$ ，但是我们不能让它变为负数，所以说还要与就求不够的牌数，但是它肯定是自然数，所以还要和 0 取最大值，这就是它缺少的。一共进行 x 轮，每次最多补一个，在保证足够的情况下，一共只能补 $k=\min{m,x}$ 次，所以记录 t 为缺少牌的数量，然后如果 $t\le k$ ，那么可以取 x 次，返回 1，否则返回 0。

有了详细的二分，我们只需要套个二分模板，但要注意的是，区间终点必须偏右，否则只有 40 分，原因如下：

首先，但判断到最后一次时，l=r-1，此时 $mid=\frac{l+r}{2}=l$ ，如果成立，那么 l=mid 一直执行下去，即一直满足 l<r，等死恒成立，二分不会退出，就会变成死循环，所以说我们在最后一次时区间终点必须偏右。

AC Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long //t有可能爆 int
using namespace std;
int n,a[55],m,l,r=7.5e8;//l 左端点，r 右端点
bool check(int x){
    int t=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        t+=max(x-a[i],0ll);//累加缺少的牌数
        if(t>min(x,m))
            return 0;//如果不够就不行
    }
    return 1;//判断到最后都可以就是可行的
}
signed main(){
    scanf("%lld %lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    while(l<r){
        int mid=l+r>>1;
        if(l==r-1)
            mid++;//向上取整，否则40分
        if(check(mid))
            l=mid;
        else
            r=mid-1;//左边可以取，右边不能取
    }//二分模板
    printf("%lld\n",r);//取当前的右端点
    return 0;
}