30、小波、滤波器组和短时傅里叶变换的深入研究

小波、滤波器组和短时傅里叶变换的深入研究

在信号处理领域，小波变换（WT）和短时傅里叶变换（STFT）是两种重要的时频分析工具。我们已经对它们有了定性的了解，现在是时候深入探讨一些重要细节，进行更定量的分析了。

1. STFT的局限性与小波变换的优势

STFT在获取 $L^2$ 信号的正交基时存在一些技术限制。例如，如果使用STFT为 $L^2$ 信号获取正交基，窗口 $v(t)$ 的时频均方根持续时间需满足 $D_tD_f = ∞$，这意味着时间或频率分辨率会很差。不过，当时间 - 频率采样积 $\omega_sT_s$ 小到允许冗余时（即向量不像正交基那样线性独立），这个问题可以得到解决。

Gabor变换虽因具有最优时频分辨率特性（$D_tD_f$ 最小化）而颇具吸引力，但也有缺点。在所谓的临界采样情况下，从STFT系数恢复信号 $x(t)$ 时，重构是不稳定的，即STFT系数的小误差可能导致重构的大误差。

而小波变换则没有这些局限性。可以从一个并元酉数字滤波器组出发，系统地为 $L^2(R)$ 构造具有良好时间和频率分辨率的正交小波基。多分辨率理论为小波构造和滤波器组提供了统一的平台，使得在构造过程中可以纳入许多理想的特性，如紧支撑性、正交性、良好的时频分辨率、光滑性等。

2. 深入研究所需的数学工具

为了定量解释上述结果，有必要复习一些数学工具。无限维空间的基函数相关问题较为复杂，需要更高级的工具。例如，在无限维空间中，形如 $x(t) = \sum c_n f_n(t)$ 的表示可能不稳定，即变换域 ${c_n}$ 中的小误差在重构过程中可能无界放大。而Riesz基则没有这个问题，正交基是Riesz基的特殊