28、树的L(2, 1)-标签问题与图的批量着色问题研究

树的L(2, 1)-标签问题与图的批量着色问题研究

1. 树的L(2, 1)-标签问题

1.1 CK算法优化

在树的L(2, 1)-标签问题中，CK算法最初的运行时间为$O(\sum_{v \in V} t(v)) = O(\Delta^{2.5} \sum_{v \in V} d’(v))$。通过避免对与叶子节点相邻顶点进行不必要的二分匹配计算，可将其优化为$O(\Delta^{2.5} \sum_{v \in V \setminus V_L \setminus V_Q} d’‘(v))$。
- 对于顶点$v \in V_L \cup V_Q$，无需进行二分匹配就能轻松得到$\alpha((u, v), (x, y))$的值。对于叶子节点$v \in V_L$，$\alpha((u, v), (a, b)) = 1$当且仅当$|a - b| \geq 2$；对于顶点$v \in V_Q$，$\alpha((u, v), (a, b)) = 1$当且仅当$b \in {0, \Delta - 1}$且$|a - b| \geq 2$。
- 对于$v \in V \setminus V_L \setminus V_Q$且与叶子节点相邻的顶点，计算$\alpha((u, v), (x, b))$的时间可从$O(\Delta^{1.5} d’(v))$优化为$O(\Delta^{1.5} d’‘(v))$。因为只需考虑$b \in {0, \Delta - 1}$的情况，且计算$\alpha((u, v), (x, b))$时，只需检查在$C(v) \setminus V_L$上是否存在可行分配。

1.2 摊还分析

通过摊还分析可证明$O