4、计算几何中的唯一表示数据结构

计算几何中的唯一表示数据结构

1. 动态有序字典

动态有序字典问题旨在维护一个全序集合 $(U, <)$ 的子集 $S \subset U$。我们主要考虑支持插入、删除、前驱（$Pred(x, S) = max{e \in S|e < x}$）和后继（$Succ(x, S) = min{e \in S|e > x}$）操作。由于后继操作是前驱操作的简单变体，后续我们将主要关注前驱操作。
- 整数键情况 ：若键来自整数集合 $U = [m]$，可以使用 Van Emde Boas 等人结构的简单变体，它是唯一表示（UR）的，能在 $O(log log m)$ 的期望时间和 $O(|S|)$ 的空间内支持所有操作。
- 比较模型情况 ：在比较模型下，我们可以使用树堆（treap），能在 $O(log |S|)$ 的时间和空间内支持所有操作。在这两种情况下，哈希函数的 $O(1)$ 独立性就足够了。有时我们会为每个元素关联数据。

2. 顺序维护

顺序维护问题（OMP）是要维护 $n$ 个元素的全序 $L$，同时支持以下操作：
- 插入操作 ：$Insert(x, y)$，在 $L$ 中元素 $x$ 之后插入新元素 $y$。
- 删除操作 ：$Delete(x)$，从 $L$ 中删除元素 $x$。
- 比较操作 ：$Compare(x, y)$，判断 $x$ 是否在 $L$ 中先于 $y$。

之前的工作中提出了