63、具有二进制秘密的模块-LWE问题的难度分析

具有二进制秘密的模块-LWE问题的难度分析

1. 拉格朗日基的二进制组合

设 $R$ 是次数为 $n = 2\ell$ 的分圆整数环。对于任意整数 $q \geq 1$，集合 $R_q \cap \sigma^{-1}({0, 1}^n \cap H)$ 仅包含 $0$ 和 $1$。

在分圆域中，$t_1 = 0$ 且 $t_2 = n/2$，定义多项式为 $x^n + 1$，根可重新索引为 $\alpha_j = \exp(i(2j + 1)\pi/n)$，$j$ 从 $0$ 到 $n - 1$。我们研究 $L_k$ 的常数系数 $A_k = L_k(0)$。

对于固定的 $k \in {0, \ldots, n/2 - 1}$，通过一系列计算可得：
[
\prod_{j\neq k}(\alpha_k - \alpha_j) = -\alpha_k^{-1}\prod_{l = 1}^{n - 1}(1 - e^{i2\pi l/n}) = -n\alpha_k^{-1}
]
$A_k$ 分子的乘积为 $(-1)^{n - 1}\alpha_k$，由于 $n$ 为偶数，所以 $A_k = \frac{2}{n}$。

考虑子集 $S \subseteq {0, \ldots, n/2 - 1}$，当 $S = {0, \ldots, n/2 - 1}$ 时，所有拉格朗日基元素相加结果为 $1$；当 $S = \varnothing$ 时，按惯例结果为 $0$。当 $0 < |S| < n/2$ 时，$\prod_{k\in S} L_k$ 的常数系数为 $\frac{2^{|S|}}{n} \in (0,