12、Z变换：逆变换、性质及在LTI系统中的作用

Z变换：逆变换、性质及在LTI系统中的作用

1. 逆Z变换

在进行序列的Z变换时，指定收敛域（ROC）是过程中不可或缺的一部分。例如，考虑序列 $x[n] = u[n]$ 和 $y[n] = -u[-n - 1]$，其中 $u[n]$ 是单位阶跃函数。它们的Z变换分别为：
- $X(z) = \frac{1}{1 - z^{-1}}$，$|z| > 1$
- $Y(z) = \frac{1}{1 - z^{-1}}$，$|z| < 1$

这两个序列的Z变换除了收敛域不同外完全相同，这表明没有收敛域，Z变换是不完整的。如果给定 $\frac{1}{1 - z^{-1}}$ 作为一个序列的Z变换，在不知道收敛域的情况下，求逆变换不是唯一确定的。

下面介绍几种求逆Z变换的方法：
- 围线积分法 ：
- 这是Z变换的正式反演过程。通过将Z变换表达式两边乘以 $\frac{1}{2\pi j}z^{k - 1}$，然后沿包含原点的z平面闭合围线C逆时针积分得到：
$\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}X(z)z^{k - 1}dz = \frac{1}{2\pi j}\oint_{C}z^{k - 1}\sum_{n = -\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}dz$
- 选择积分围线位于收敛域内，可交换积分和求和顺序，得到：
$\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}X(z)z^{k - 1}dz = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x