循环冗余校验 CRC 的算法分析和程序实现

循环冗余校验 CRC 的算法分析和程序实现

摘要 通信的目的是要把信息及时可靠地传送给对方，因此要求一个通信系统传输消息必须可靠
与快速，在数字通信系统中可靠与快速往往是一对矛盾。为了解决可靠性，通信系统都采用了差错
控制。本文详细介绍了循环冗余校验CRC（Cyclic Redundancy Check）的差错控制原理及其算法实
现。
关键字 通信 循环冗余校验 CRC-32 CRC-16 CRC-4
概述
在数字通信系统中可靠与快速往往是一对矛盾。若要求快速，则必然使得每个数据码元所占地
时间缩短、波形变窄、能量减少，从而在受到干扰后产生错误地可能性增加，传送信息地可靠性下
降。若是要求可靠，则使得传送消息地速率变慢。因此，如何合理地解决可靠性也速度这一对矛盾，
是正确设计一个通信系统地关键问题之一。为保证传输过程的正确性，需要对通信过程进行差错控
制。差错控制最常用的方法是自动请求重发方式（ARQ）、向前纠错方式（FEC）和混合纠错（HEC）。
在传输过程误码率比较低时，用FEC 方式比较理想。在传输过程误码率较高时，采用FEC 容易出
现“乱纠”现象。HEC 方式则式ARQ 和FEC 的结合。在许多数字通信中，广泛采用ARQ 方式，
此时的差错控制只需要检错功能。实现检错功能的差错控制方法很多，传统的有：奇偶校验、校验
和检测、重复码校验、恒比码校验、行列冗余码校验等，这些方法都是增加数据的冗余量，将校验
码和数据一起发送到接受端。接受端对接受到的数据进行相同校验，再将得到的校验码和接受到的
校验码比较，如果二者一致则认为传输正确。但这些方法都有各自的缺点，误判的概率比较高。
循环冗余校验CRC（Cyclic Redundancy Check）是由分组线性码的分支而来，其主要应用是二
元码组。编码简单且误判概率很低，在通信系统中得到了广泛的应用。下面重点介绍了CRC 校验
的原理及其 算法实现。
一、循环冗余校验码（CRC）
CRC 校验采用多项式编码方法。被处理的数据块可以看作是一个n 阶的二进制多项式，由
0 1
2
2
1
1 a x a x a x a x
n
n
n + + ⋅ ⋅ ⋅ + + −
−
−
− 。如一个8 位二进制数10110101 可以表示为：
1 0 1 0 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 + + + + + + + x x x x x x x 。多项式乘除法运算过程与普通代数多项式的乘除法相
同。多项式的加减法运算以2 为模，加减时不进，错位，和逻辑异或运算一致。
采用CRC 校验时，发送方和接收方用同一个生成多项式g（x）,并且g（x）的首位和最后一
位的系数必须为1。CRC 的处理方法是：发送方以g（x）去除t（x），得到余数作为CRC 校验码。
校验时，以计算的校正结果是否为0 为据，判断数据帧是否出错。
CRC 校验可以100％地检测出所有奇数个随机错误和长度小于等于k（k 为g（x）的阶数）的
突发错误。所以CRC 的生成多项式的阶数越高，那么误判的概率就越小。CCITT 建议：2048 kbit/s
的PCM 基群设备采用CRC-4 方案，使用的CRC 校验码生成多项式g（x）= 1 4 + + x x 。采用16
位CRC 校验，可以保证在14 10 bit 码元中只含有一位未被检测出的错误] 2 [ 。在IBM 的同步数据链
路控制规程SDLC 的帧校验序列FCS 中，使用CRC-16，其生成多项式g（x）= 1 2 15 16 + + + x x x ；
而在CCITT 推荐的高级数据链路控制规程HDLC 的帧校验序列FCS 中，使用CCITT-16，其生成多
项式g （ x ） = 1 5 15 16 + + + x x x 。CRC-32 的生成多项式g （ x ）
= 1 2 4 5 7 8 10 11 12 16 22 23 26 32 + + + + + + + + + + + + + + x x x x x x x x x x x x x x 。CRC-32 出错的概
率比CRC-16 低5 10− 倍] 4 [ 。由于CRC-32 的可靠性，把CRC-32 用于重要数据传输十分合适，所以
在通信、计算机等领域运用十分广泛。在一些UART通信控制芯片（如MC6582、Intel8273 和Z80-SIO）
内，都采用了CRC 校验码进行差错控制；以太网卡芯片、MPEG 解码芯片中，也采用CRC-32 进
行差错控制。
二、CRC 校验码的算法分析
CRC 校验码的编码方法是用待发送的二进制数据t（x）除以生成多项式g（x），将最后的余数
作为CRC 校验码。其实现步骤如下：
（1） 设待发送的数据块是m 位的二进制多项式t（x），生成多项式为r 阶的g（x）。在数据块
的末尾添加r 个0，数据块的长度增加到m+r 位，对应的二进制多项式为) (x t xr 。
（2） 用生成多项式g（x）去除) (x t xr ，求得余数为阶数为r-1 的二进制多项式y（x）。此二进
制多项式y（x）就是t（x）经过生成多项式g（x）编码的CRC 校验码。
（3） 用) (x t xr 以模2 的方式减去y（x），得到二进制多项式) ( ' x t xr 。) ( ' x t xr 就是包含了CRC
校验码的待发送字符串。
从CRC 的编码规则可以看出，CRC 编码实际上是将代发送的m 位二进制多项式t（x）转换成
了可以被g（x）除尽的m+r 位二进制多项式) ( ' x t xr ，所以解码时可以用接受到的数据去除g（x），
如果余数位零，则表示传输过程没有错误；如果余数不为零，则在传输过程中肯定存在错误。许多
CRC 的硬件解码电路就是按这种方式进行检错的。同时) ( ' x t xr 可以看做是由t（x）和CRC 校验码
的组合，所以解码时将接收到的二进制数据去掉尾部的r 位数据，得到的就是原始数据。
为了更清楚的了解CRC 校验码的编码过程，下面用一个简单的例子来说明CRC 校验码的编码
过程。由于CRC-32、CRC-16、CCITT 和CRC-4 的编码过程基本一致，只有位数和生成多项式不
一样。为了叙述简单，用一个CRC-4 编码的例子来说明CRC 的编码过程。
设待发送的数据t（x）为12 位的二进制数据100100011100；CRC-4 的生成多项式为g（x）
= 1 4 + + x x ，阶数r 为4，即10011。首先在t（x）的末尾添加4 个0 构成) ( 4 x t x ，数据块就成了
1001000111000000。然后用g（x）去除) ( 4 x t x ，不用管商是多少，只需要求得余数y（x）。下表为
给出了除法过程。
从上面表中可以看出，CRC 编码实际上是一个循环移位的模2 运算。对CRC-4，我们假设有
除数次数
被除数/ g（x）/结果
余数
1 001000111000000
1 0011
0
0 000100111000000
100111000000
1 00111000000
1 0011
1
0 00001000000
1000000
1 000000
1 0011
2
0 001100
1100