18、量子算法：原理与应用

量子算法：原理与应用

1. Deutsch 问题

Deutsch 问题涉及一个布尔函数 (f: {0, 1} \to {0, 1})。这样的函数有四种，包括将所有输入映射到 0 或 1 的常量函数，以及 (f(0) \neq f(1)) 的变值函数。具体如下：
| 函数 | (f(0)) | (f(1)) | 类型 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| (f_1) | 0 | 0 | 常量函数 |
| (f_2) | 1 | 1 | 常量函数 |
| (f_3) | 0 | 1 | 变值函数 |
| (f_4) | 1 | 0 | 变值函数 |

任务是仅通过一次函数计算来确定该函数是常量函数还是变值函数。在经典计算中，需要计算 (f) 两次才能确定。而在量子计算中，通过酉变换 (U_f) 实现函数：
[U_f|x\rangle \otimes |y\rangle = |x\rangle \otimes |y \oplus f(x)\rangle]
其中 (\oplus) 表示异或操作。将此变换应用于状态 (|\psi\rangle := \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) \otimes (|0\rangle - |1\rangle))，得到：
[
\begin{align }
& \frac{1}{2}(|0\rangle \otimes |0 \oplus f(0)\rangle - |0\rangle \otimes |1 \oplus f(0)\rangle) \
& +