有趣的图(一)(55)

小朋友们好，大朋友们好！

我是猫妹，一名爱上Python编程的小学生。

和猫妹学Python，一起趣味学编程。

今日主题

咱们今天的内容比较抽象，也比较有趣。

这里的图是指计算机中的图，确切地说，是一种数据结构。

在解决实际问题时，经常会用到。

我们举个生活中的例子：

一个人要把大陆31个省会城市自驾游一遍，最短路径是多少公里？

一个人能在一个省份只经过一次的情况下把大陆31个省会城市自驾游一遍吗？

今天的主题有：

图的定义

图的分类

图的接口

图的Python表示

图的定义

图G由两个集合组成，顶点集合和边集合。

一个由顶点(vertex)构成的有穷非空集合和一个由边(edge)构成的有穷允空集合。

比如上图：

顶点集合有：1,2,3,4,5,6,7

边集合有：有10条，带权值

比如上图：

顶点结合有：0,1,2,3,4,5

边集合有：共9条，不带权值

图的分类

图根据边是否有方向，分为有向图和无向图。

(a)为有向图，(b)为无向图

图根据边是否有权值，分为边无权值的图，边有权值的图。

如下图：

节点的度

无向图中结点的度：顶点引出的边数和。

有向图中结点的度：分为入度和出度。入度为指向该顶点的边数和，出度为该顶点向外指向的边数和。

图的接口

addVertex(v)添加顶点

deleteVertex(v)删除顶点

vertexes(v)获取所有顶点

addEdge(v1,v2)添加一条边

deleteEdge(v1,v2)删除一条边

edges()获取所有边

adjacent(v)获取v的所有邻接顶点

isEmpty()判断图是否为空

Python中的图

可以使用Python自带的列表、集合、字典来表示图，也可以使用第三方库networkx。

可以使用邻接矩阵、邻接列表、邻接集合、邻接加权字典来表示图。%3CmxGraphModel%3E%3Croot%3E%3CmxCell%20id%3D%220%22%2F%3E%3CmxCell%20id%3D%221%22%20parent%3D%220%22%2F%3E%3CmxCell%20id%3D%222%22%20value%3D%22b%22%20style%3D%22ellipse%3BwhiteSpace%3Dwrap%3Bhtml%3D1%3Baspect%3Dfixed%3BfillColor%3D%2360a917%3BfontColor%3D%23ffffff%3BstrokeColor%3D%232D7600%3B%22%20vertex%3D%221%22%20parent%3D%221%22%3E%3CmxGeometry%20x%3D%22350%22%20y%3D%22130%22%20width%3D%2220%22%20height%3D%2220%22%20as%3D%22geometry%22%2F%3E%3C%2FmxCell%3E%3C%2Froot%3E%3C%2FmxGraphModel%3E

邻接矩阵

设无向图G=(V,E),其中顶点集V=v1,v2,…,vn，边集 E=e1,e2,…,eε。用aij表示顶点vi与顶点vj之间的边数，可能取值为0,1,2,…，称所得矩阵A=A(G)=(aij)n×n为图G的邻接矩阵。

邻接矩阵可以描述有向图和无向图。

邻接矩阵的存储特点：

（a）无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵，有向图不一定是。

（b）邻接矩阵所需的存储空间值域只与顶点数有关系。

（c）用邻接矩阵存储图，容易判断两个点之间是否有边。

（d）如果一个有向图的邻接矩阵为三角矩阵（主对角线为0），则它的拓扑排序一定存在。

（e）小技巧：

无向图：邻接矩阵的第i行或者第i列的非零元素的个数正好是第i个顶点Vi的度；

有向图：邻接矩阵的第i行的非零元素个数正好是第i个顶点Vi的出度，第i列非零元素的个数正好是第i个顶点Vi的入度。

（f）邻接矩阵也可以表示有权值的图，此时单元格内容是边的权值。

上图Python代码参考：

邻接矩阵的缺点：

1. 当结点很多，边很少时，很多个0，浪费空间。

2. 寻找每个结点的邻接顶点时，需要遍历列表，稍有不便。

邻接集合

只存储有边的数据，不存储无边的数据。

比如上图中，和a相邻的边，只存储ad和ae，只需要存储和a相邻的结点是d和e就可以了。

邻接列表

和邻接集合类似，只是将集合变为列表。

邻接加权字典

可以使用邻接加权字典表示有权值的图。

好了，我们今天的学习就先到这里。

你学会了吗？

好了，我们今天就学到这里吧！

如果遇到什么问题，咱们多多交流，共同解决。

我是猫妹，咱们下次见！