hdu 1695莫比乌斯反演

本文介绍了一种使用莫比乌斯反演解决特定数学问题的方法,即计算指定区间内满足最大公约数等于给定值的整数对数量。通过转换视角,将问题简化为计算相对质数对的数量,并利用μ函数实现快速计算。

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题意:
求区间[1,a],区间[1,b]中有多少对数满足gcd(i,j)=k,(2,2)只算一对 求区间[1,a] ,区间[1,b]中有多少对数满足gcd(i,j)=k,(2,2)只算一对 [1,a][1,b]gcd(i,j)=k,(2,2)

题解:莫比乌斯反演基础

f(x)f(x)f(x)gcd(i,j)=xgcd(i,j)=xgcd(i,j)=x的对数
F(x)F(x)F(x)gcd(i,j)=xgcd(i,j)=xgcd(i,j)=x的倍数的对数
b=ixb = \frac{i}{x}b=xi , d=jxd = \frac{j}{x}d=xj
那么我们的答案就是求f(x)f(x)f(x),可以转化为求gcd(b,d)=1gcd(b,d)=1gcd(b,d)=1的对数

由莫比乌斯反演公式
F(n)=∑d∣nf(d)F(n) = \displaystyle \sum_{d \mid n}f(d)F(n)=dnf(d)

f(n)=∑d∣nμ(d)F(nd)f(n) = \displaystyle \sum_{d \mid n} μ(d)F(\frac{n}{d})f(n)=dnμ(d)F(dn)

F(x)F(x)F(x)其实就是(bi)∗(di)(\frac{b}{i})*(\frac{d}{i})(ib)(id)

那么f(x)=∑i=1min(b,d)μ(i)(bi)∗(di))f(x)= \displaystyle \sum^{min(b,d)}_{i=1} μ(i)(\frac{b}{i})*(\frac{d}{i}))f(x)=i=1min(b,d)μ(i)(ib)(id))

μ函数可以在线性的时间内筛出来,最后答案累加就好了,注意这样计算,如果两个数相同那么就会被计算两次,所以要减去重复的\mu函数可以在线性的时间内筛出来,最后答案累加就好了,注意这样计算,如果两个数相同那么就会被计算两次,所以要减去重复的μ线

重复的其实只有m=min(b,d)m = min(b,d)m=min(b,d)中的情况,画个图就知道了

/* ***********************************************
Author        :pall_scall
Created Time  :2019年07月17日 星期三 16时58分45秒
File Name     :acm.cpp
************************************************ */

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
using namespace std;

typedef long long ll;
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lowbit(x) x&-x
const int MAXN = 1e6 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-6;
const double pi = acos(-1.0);

bool check[MAXN+10];
ll prime[MAXN+10];
int mu[MAXN+10];
void Moblus(){
    memset(check,false,sizeof(check));
    mu[1] = 1;
    ll tot = 0;
    for(ll i = 2; i <= MAXN; i++){
        if( !check[i] ){
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(ll j = 0; j < tot; j++){
            if(i * prime[j] > MAXN) break;
            check[i * prime[j]] = true;
            if( i % prime[j] == 0){
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }else{
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
}
int a,b,c,d,k;
int main(){
	//freopen("in.txt","r",stdin);
	//freopen("out.txt","w",stdout);
	Moblus();
	int t;
	cin>>t;
	int ca = 0;	
	while(t--){
		cin>>a>>b>>c>>d>>k;
		if(k == 0){
			printf("Case %d: 0\n",++ca);
			continue;
		}
		b = b/k, d = d/k;
		if(b > d) swap(b,d);
		ll ans = 0,res = 0;
		for(int i = 1; i <= b; i++){
			ans += (ll)mu[i]*(b/i)*(b/i);
			res += (ll)mu[i]*(b/i)*(d/i);
		}
		printf("Case %d: %lld\n",++ca,res-ans/2);
	}
    return 0;
}
内容概要:本文详细介绍了900W或1Kw,20V-90V 10A双管正激可调电源充电机的研发过程和技术细节。首先阐述了项目背景,强调了充电机在电动汽车和可再生能源领域的重要地位。接着深入探讨了硬件设计方面,包括PCB设计、磁性器件的选择及其对高功率因数的影响。随后介绍了软件实现,特别是程序代码中关键的保护功能如过流保护的具体实现方法。此外,文中还提到了充电机所具备的各种保护机制,如短路保护、欠压保护、电池反接保护、过流保护和过温度保护,确保设备的安全性和可靠性。通讯功能方面,支持RS232隔离通讯,采用自定义协议实现远程监控和控制。最后讨论了散热设计的重要性,以及为满足量产需求所做的准备工作,包括提供详细的PCB图、程序代码、BOM清单、磁性器件和散热片规格书等源文件。 适合人群:从事电力电子产品研发的技术人员,尤其是关注电动汽车充电解决方案的专业人士。 使用场景及目标:适用于需要高效、可靠充电解决方案的企业和个人开发者,旨在帮助他们快速理解和应用双管正激充电机的设计理念和技术要点,从而加速产品开发进程。 其他说明:本文不仅涵盖了理论知识,还包括具体的工程实践案例,对于想要深入了解充电机内部构造和工作原理的人来说是非常有价值的参考资料。
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