hdu 1695莫比乌斯反演

最新推荐文章于 2019-11-06 20:09:08 发布

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#莫比乌斯

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本文介绍了一种使用莫比乌斯反演解决特定数学问题的方法，即计算指定区间内满足最大公约数等于给定值的整数对数量。通过转换视角，将问题简化为计算相对质数对的数量，并利用μ函数实现快速计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：
$求区间 [1, a] ，区间 [1, b] 中有多少对数满足 g c d (i, j) = k, (2, 2) 只算一对$

题解：莫比乌斯反演基础

设 $f (x)$ 为 $g c d (i, j) = x$ 的对数
设 $F (x)$ 为 $g c d (i, j) = x$ 的倍数的对数
令 $\frac{i}{x}$ , $\frac{j}{x}$
那么我们的答案就是求 $f (x)$ ,可以转化为求 $g c d (b, d) = 1$ 的对数

由莫比乌斯反演公式
$\displaystyle \sum_{d \mid n}f(d)$

$\displaystyle \sum_{d \mid n} μ(d)F(\frac{n}{d})$

$F (x)$ 其实就是 $(bi)∗(di)(\frac{b}{i})*(\frac{d}{i})$

那么 $\displaystyle \sum^{min(b,d)}_{i=1} μ(i)(\frac{b}{i})*(\frac{d}{i}))$

$μ函数可以在线性的时间内筛出来，最后答案累加就好了，注意这样计算，如果两个数相同那么就会被计算两次，所以要减去重复的\mu函数可以在线性的时间内筛出来，最后答案累加就好了，注意这样计算，如果两个数相同那么就会被计算两次，所以要减去重复的$

重复的其实只有 $m = m i n (b, d)$ 中的情况，画个图就知道了

/* ***********************************************
Author        :pall_scall
Created Time  :2019年07月17日 星期三 16时58分45秒
File Name     :acm.cpp
************************************************ */

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
using namespace std;

typedef long long ll;
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lowbit(x) x&-x
const int MAXN = 1e6 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-6;
const double pi = acos(-1.0);

bool check[MAXN+10];
ll prime[MAXN+10];
int mu[MAXN+10];
void Moblus(){
    memset(check,false,sizeof(check));
    mu[1] = 1;
    ll tot = 0;
    for(ll i = 2; i <= MAXN; i++){
        if( !check[i] ){
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(ll j = 0; j < tot; j++){
            if(i * prime[j] > MAXN) break;
            check[i * prime[j]] = true;
            if( i % prime[j] == 0){
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }else{
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
}
int a,b,c,d,k;
int main(){
	//freopen("in.txt","r",stdin);
	//freopen("out.txt","w",stdout);
	Moblus();
	int t;
	cin>>t;
	int ca = 0;	
	while(t--){
		cin>>a>>b>>c>>d>>k;
		if(k == 0){
			printf("Case %d: 0\n",++ca);
			continue;
		}
		b = b/k, d = d/k;
		if(b > d) swap(b,d);
		ll ans = 0,res = 0;
		for(int i = 1; i <= b; i++){
			ans += (ll)mu[i]*(b/i)*(b/i);
			res += (ll)mu[i]*(b/i)*(d/i);
		}
		printf("Case %d: %lld\n",++ca,res-ans/2);
	}
    return 0;
}