题意:
求区间[1,a],区间[1,b]中有多少对数满足gcd(i,j)=k,(2,2)只算一对
求区间[1,a] ,区间[1,b]中有多少对数满足gcd(i,j)=k,(2,2)只算一对
求区间[1,a],区间[1,b]中有多少对数满足gcd(i,j)=k,(2,2)只算一对
题解:莫比乌斯反演基础
设f(x)f(x)f(x) 为gcd(i,j)=xgcd(i,j)=xgcd(i,j)=x的对数
设F(x)F(x)F(x)为gcd(i,j)=xgcd(i,j)=xgcd(i,j)=x的倍数的对数
令b=ixb = \frac{i}{x}b=xi , d=jxd = \frac{j}{x}d=xj
那么我们的答案就是求f(x)f(x)f(x),可以转化为求gcd(b,d)=1gcd(b,d)=1gcd(b,d)=1的对数
由莫比乌斯反演公式
F(n)=∑d∣nf(d)F(n) = \displaystyle \sum_{d \mid n}f(d)F(n)=d∣n∑f(d)
f(n)=∑d∣nμ(d)F(nd)f(n) = \displaystyle \sum_{d \mid n} μ(d)F(\frac{n}{d})f(n)=d∣n∑μ(d)F(dn)
F(x)F(x)F(x)其实就是(bi)∗(di)(\frac{b}{i})*(\frac{d}{i})(ib)∗(id)
那么f(x)=∑i=1min(b,d)μ(i)(bi)∗(di))f(x)= \displaystyle \sum^{min(b,d)}_{i=1} μ(i)(\frac{b}{i})*(\frac{d}{i}))f(x)=i=1∑min(b,d)μ(i)(ib)∗(id))
μ函数可以在线性的时间内筛出来,最后答案累加就好了,注意这样计算,如果两个数相同那么就会被计算两次,所以要减去重复的\mu函数可以在线性的时间内筛出来,最后答案累加就好了,注意这样计算,如果两个数相同那么就会被计算两次,所以要减去重复的μ函数可以在线性的时间内筛出来,最后答案累加就好了,注意这样计算,如果两个数相同那么就会被计算两次,所以要减去重复的
重复的其实只有m=min(b,d)m = min(b,d)m=min(b,d)中的情况,画个图就知道了
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Author :pall_scall
Created Time :2019年07月17日 星期三 16时58分45秒
File Name :acm.cpp
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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lowbit(x) x&-x
const int MAXN = 1e6 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-6;
const double pi = acos(-1.0);
bool check[MAXN+10];
ll prime[MAXN+10];
int mu[MAXN+10];
void Moblus(){
memset(check,false,sizeof(check));
mu[1] = 1;
ll tot = 0;
for(ll i = 2; i <= MAXN; i++){
if( !check[i] ){
prime[tot++] = i;
mu[i] = -1;
}
for(ll j = 0; j < tot; j++){
if(i * prime[j] > MAXN) break;
check[i * prime[j]] = true;
if( i % prime[j] == 0){
mu[i * prime[j]] = 0;
break;
}else{
mu[i * prime[j]] = -mu[i];
}
}
}
}
int a,b,c,d,k;
int main(){
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
Moblus();
int t;
cin>>t;
int ca = 0;
while(t--){
cin>>a>>b>>c>>d>>k;
if(k == 0){
printf("Case %d: 0\n",++ca);
continue;
}
b = b/k, d = d/k;
if(b > d) swap(b,d);
ll ans = 0,res = 0;
for(int i = 1; i <= b; i++){
ans += (ll)mu[i]*(b/i)*(b/i);
res += (ll)mu[i]*(b/i)*(d/i);
}
printf("Case %d: %lld\n",++ca,res-ans/2);
}
return 0;
}