56、利用捷径边最小化网络直径

利用捷径边最小化网络直径

在网络优化领域，利用捷径边来最小化网络直径是一个重要的问题。下面将详细介绍相关的算法和解决方案。

1. (4 + ε)-近似算法

在这个问题中，我们的目标是通过添加 $k$ 条长度为 $\delta$ 的捷径边，来最小化图的直径。设当前图 $G$（无捷径边）的直径为 $D$，最优解的直径为 $D’$，且 $D’ \leq D$。

首先，我们需要估计 $D’$ 的值。我们知道 $D$ 可以作为 $D’$ 的上界。设 $a$ 为图 $G$ 中边的最小长度，$D’$ 不能小于 $\min{a, \delta}$，因为任意一对顶点之间的路径至少要使用图 $G$ 中的一条现有边或一条捷径边。我们可以找到一个正的下界 $L$，满足 $0 < L \leq D’ \leq D$。

选择一个任意小的 $\varepsilon > 0$，存在一个 $0 \leq i \leq \log_{1 + \varepsilon}(D/L)$，使得 $D/(1 + \varepsilon)^{(i + 1)} < D’ \leq D/(1 + \varepsilon)^i$。

接下来，我们使用聚类算法。该算法接收一个输入参数 $x \geq 0$，将图的顶点划分为直径至多为 $2x$ 的聚类。具体步骤如下：
1. 选择一个顶点子集 $S$ 作为聚类的中心，集合 $S$ 需满足：集合 $S$ 中任意一对顶点在图 $G$ 中的距离大于 $2x - \delta$；对于每个不在 $S$ 中的顶点 $u$，存在 $S$ 中的顶点 $v$，使得 $u$ 到 $v$ 的距离至多为 $2x - \delta$。
2.