43、更快的子式包含参数化算法

更快的子式包含参数化算法

1. 引言

在图论中，Robertson和Seymour提出的图子式理论是现代组合学中最深刻且重要的理论之一。该理论对算法的发展产生了深远影响，参数化复杂性等领域都源于图子式理论。以往人们普遍认为图子式理论主要具有理论意义，但现在发现其许多深刻结果可用于设计实际算法。

子式包含测试是该理论中算法上最重要且技术难度较高的部分，而有界分支宽度图中的子式包含是相关算法的基本要素。Hicks曾提出一个算法，能在$O(3k^2 · (h + k - 1)! · m)$时间内判断一个具有$m$条边、分支宽度为$k$的图$G$是否包含一个具有$h$个顶点的固定图$H$作为子式。而本文的目标是改进该算法对参数$k$的依赖。

2. 定义

• 图和子式 ：本文考虑的所有图都是简单无向图。对于图$G$，用$V(G)$表示顶点集，$E(G)$表示边集。若图$F$满足$V(F) ⊆ V(G)$且$E(F) ⊆ E(G)$，则$F$是$G$的子图。对于顶点子集$X ⊆ V(G)$，$G[X]$表示由$X$诱导的子图；对于边子集$Y ⊆ E(G)$，$G[Y]$表示以$Y$为边集的图。超图是对图的推广，允许边是顶点集的任意子集。
  若$H$可通过对$G$的子图进行一系列（可能为空）边收缩操作得到，则称$H$是$G$的子式；若$H$可通过对$G$的诱导子图（或整个图$G$）进行一系列（可能为空）边收缩操作得到，则称$H$是$G$的诱导子式（或收缩子式）。
• 分支分解 ：图$G$的分支分解$(T, μ)$由一棵三元树$T$（所有内部顶点度数为3）和一