9、最大独立集的自底向上方法与快速算法

最大独立集的自底向上方法与快速算法

在解决NP难问题的精确算法领域，研究人员一直致力于开发具有非平凡最坏情况复杂度的算法。最大独立集问题作为其中备受关注的问题之一，吸引了众多研究者的目光。本文将介绍一种名为“自底向上方法”的新技术，它能将“稀疏”实例的最坏情况复杂度改进传播到“密集”实例，并在最小集合覆盖和最大独立集问题中展现出显著效果。

1. 自底向上方法概述

自底向上方法的核心思想包含两个关键要素：一是选择递归复杂度度量，二是确保在“密集”实例上能够进行良好的分支操作。该方法可以将“稀疏”实例的最坏情况复杂度改进推广到“密集”实例，其中实例的密度与所处理问题相关，通常指实例某个参数的平均值。

2. 自底向上方法在最小集合覆盖问题中的应用

2.1 递归复杂度度量的重要性

考虑最小集合覆盖问题，给定有限基集 $U = {x_1, \cdots, x_n}$ 和集合系统 $S = {S_1, \cdots, S_m}$，目标是确定一个最小规模的子系统 $S’$ 覆盖 $U$。这里实例的密度定义为集合系统 $S$ 中集合的平均基数。

通过自底向上方法，可以轻松得到针对平均（或最大）大小为 $d$（$d \geq 5$）的集合实例的改进时间复杂度算法。具体步骤如下：
1. 已知文献[9]中的算法在平均集合大小为 5、6、7 和 8 的实例中分别以 $O^ (1.55^m)$、$O^ (1.63^m)$、$O^ (1.71^m)$ 和 $O^ (1.79^m)$ 的时间复杂度解决最小集合覆盖问题。
2. 对于 $p > dm$ 的实例（其中 $p =