44、可计算有序阿贝尔群与域及异步游戏中的聚焦

可计算有序阿贝尔群与域及异步游戏中的聚焦

可计算有序阿贝尔群与域

序的定义

在可计算有序阿贝尔群与域的研究中，我们会在 (Q(L)) 上定义一个序。非正式地说，如果 (L \models x_i > x_j)，那么 (x_i) 相对于 (x_j) 是无穷大的。
首先，我们对单项式集合按照 (L) 进行字典序排序。例如，假设 (L \models x_3 < x_2 < x_1)：
- (x_1x_3 > x_2^4x_3^3)，因为第一个单项式中的不定元 (x_1) 在 (L) 中比第二个单项式中的任何不定元都大。
- (x_1x_2 > x_1x_3^3)，因为 (L \models x_2 > x_3)。
- (x_1x_2^3 > x_1x_2^2x_3)，因为这两个单项式不同的 (L) - 最大不定元 (x_2) 在第一个单项式中的幂为 3，在第二个单项式中的幂为 2。

对于任意给定的 (p \in Z[L])，我们可以根据上述定义的序找到 (p) 的最大单项式 (B(p))。用 (C(p)) 表示 (B(p)) 的整数系数，当 (C(p) > 0) 时，令 (p > 0)。最后，当 (q > 0) 时，(\frac{p}{q} > 0) 当且仅当 (p > 0)。可以证明，具有这种序的 (Q(L)) 满足有序域的所有公理。

相关定义

• 定义 6 ：设 (L) 是一个线性序，记 (L^\star = L \cup {\star})，其中 (\star) 是最小元素。令 (\Psi(L) = Q(L^\star))。
• 定义 7 ：设 (F) 是一个有序域，对于任意 (g \in F)，定义其绝对值 (|g|) 为：若 (g \geq 0)，则 (|g| = g)；若 (g < 0)，则 (|g| = -g)。如果存在整数 (m > 0) 使得 (|am| > |b|) 且 (|bm| > |a|)，则称 (F) 中的两个元素 (a) 和 (b) 是阿基米德等价的，记为 (a \sim b)。

命题 5

设 (L) 和 (L_0) 是线性序，则 (Q(L) \cong Q(L_0)) 当且仅当 (L \cong L_0)。

定理证明

定理 1 和定理 2 对于域的证明与有序群的证明类似：
- 在定理 1 的证明中，我们声明 (x_i = x_j^M)（(M) 是一个大数），以使 (x_i \sim x_j)。
- 在定理 2 的证明中，我们需要相同的技术命题。
- 在域的命题 3 的证明中，我们对扩展使用了稍微修改的要求，以符合阿基米德等价的新定义。

下面用 mermaid 流程图展示上述部分流程：

graph LR
    A[定义L上的序] --> B[对单项式排序]
    B --> C[确定p的最大单项式B(p)]
    C --> D[根据C(p)判断p的正负]
    D --> E[判断p/q的正负]
    F[定义L*和Ψ(L)] --> G[定义绝对值和阿基米德等价]
    G --> H[得出命题5结论]
    I[定理1证明] --> J[声明xi = xj^M]
    K[定理2证明] --> L[使用相同技术命题]
    M[命题3证明] --> N[修改扩展要求]

异步游戏中的聚焦

游戏语义概述

游戏语义为证明提供了一个交互式的视角，通过将公式视为游戏，证明视为在这些游戏上的策略，能够精确描述证明在消去切割过程中的动态行为。我们特别关注线性逻辑的两种不同风格的语义：异步游戏和并发游戏，并展示将并发策略与异步策略关联起来可以看作是线性逻辑聚焦属性的语义对应。

公式与游戏

在sequent 演算中，无切割证明从下往上读时，会按照公式的语法树顺序逐步引入所证明公式的连接词。因此，公式可以被看作是证明要探索的“操场”，抽象地视为一个游戏，其移动是连接词，证明则是在这个游戏上的策略。根据 Curry - Howard 对应原理，将证明视为某种程序，这种看待证明理论的方式很有趣，因为证明诱导的策略能精确描述相应程序在其环境面前的交互行为。

游戏语义的成功应用

这种观点是游戏语义的核心，并且在提供能够精确描述证明和程序动态的指称语义方面非常成功。在交互式视角下，涉及两个玩家：代表证明的 Proponent 和代表其环境的 Opponent。公式诱导一个游戏，由一组移动和游戏规则组成，规则通过移动的极性（应该进行移动的玩家）和移动的顺序来形式化。两个玩家之间的交互通过一次游戏来形式化，即对应于在证明与另一个证明消去切割过程中正在探索的公式部分的移动序列。

线性逻辑中的并发与聚焦

线性逻辑中，乘法连接词表达并发行为的思想从其诞生就存在。例如，证明 (A \mathbin{\unicode{x2295}} B) 或 (A \otimes B) 可以自然地看作是并行证明 (A) 和 (B)。线性逻辑还具有聚焦属性，这意味着每个证明都可以重新组织，使得公式根处具有相同极性的所有连接词可以一次性引入。

两种游戏模型

为了捕捉这种直觉，开发了两种线性逻辑的游戏模型：
- 并发游戏 ：由 Abramsky 和 Melliès 提出，将策略建模为闭包算子，遵循域理论原则，即计算通过移动为程序的当前状态添加信息。它可以被视为大步语义，因为并发通过策略能够一次性进行多个移动来建模。
- 异步游戏 ：由 Melliès 引入，遵循“真正并发”的精神，并行移动通过策略可以进行这些移动的任何交织来建模，并且这些交织被认为是等价的。

下面用表格对比这两种游戏模型：
| 游戏模型 | 策略建模方式 | 并发建模方式 |
| ---- | ---- | ---- |
| 并发游戏 | 闭包算子 | 策略能一次性进行多个移动 |
| 异步游戏 | 策略可进行移动的任何交织 | 交织被认为等价 |

异步游戏

图与路径

一个图 (G = (V, E, s, t)) 由顶点集 (V)、边集 (E) 以及两个函数 (s, t : E \to V) 组成，分别将每条边关联到其源顶点和目标顶点。用 (m : x \to y) 表示 (m) 是从 (x) 到 (y) 的边，路径是连续边的序列，用 (t : x \to\to y) 表示 (t) 是从 (x) 到 (y) 的路径。

异步图

异步图 (G = (G, \diamond)) 是一个图 (G) 加上一个平铺关系 (\diamond)，它关联长度为 2 且具有相同源和目标的路径。如果 (m : x \to y_1)，(n : x \to y_2)，(p : y_1 \to z) 和 (q : y_2 \to z) 是四条边，用如下图形表示 (m \cdot p \diamond n \cdot q)：

z
y1
p  ∼
y2
q

x
m

n

用 (\sim) 表示包含平铺关系的最小同余（关于连接），这个关系称为同伦，从并发的角度看，两条同伦路径表示这些路径在独立事件的重新排序上是相同的。

公式与异步游戏

考虑乘法和加法片段的线性逻辑（MALL）公式，由以下语法生成：
(A ::= A \mathbin{\unicode{x2295}} A \mid A \otimes A \mid A \& A \mid A \oplus A \mid X \mid X^\ast)
其中 (X) 是变量。位置由以下语法生成：
(x ::= \dagger \mid x \mathbin{\unicode{x2295}} x \mid x \otimes x \mid \&_L x \mid \&_R x \mid \oplus_L x \mid \oplus_R x)
公式的德摩根对偶 (A^\ast) 按通常方式定义，例如 ((A \otimes B)^\ast = A^\ast \mathbin{\unicode{x2295}} B^\ast)，位置的对偶也类似定义。

对于每个公式 (A)，关联一个异步游戏 (G_A)，其顶点是 (A) 的位置。例如，(G_{A \mathbin{\unicode{x2295}} B}) 由 (G_A \parallel G_B) 得到，将每对位置 ((x, y)) 替换为 (x \mathbin{\unicode{x2295}} y)，并添加一个位置 (\dagger) 和一个 Opponent 移动 (\dagger \to \dagger \mathbin{\unicode{x2295}} \dagger)；(G_{A \& B}) 由 (G_A + G_B) 的不相交并集得到，将 (G_A)（或 (G_B)）的每个位置 (x) 替换为 (\&_L x)（或 (\&_R x)），并添加一个位置 (\dagger) 和两个 Opponent 移动 (\dagger \to \&_L \dagger) 和 (\dagger \to \&_R \dagger)。其他公式的游戏通过德摩根对偶推导得出。

策略

游戏 (G) 上的策略 (\sigma) 是一个前缀封闭的游戏集，游戏是从游戏的初始位置开始的路径。对于每个公式 (A) 的证明 (\pi)，归纳地定义一个策略。例如，解释证明 (\frac{\pi}{\vdash \Gamma, A, B} \vdash \Gamma, A \mathbin{\unicode{x2295}} B [\mathbin{\unicode{x2295}}]) 和 (\frac{\pi}{\vdash \Gamma, A} \vdash \Gamma, A \oplus B [\oplus_L]) 的策略将包含要么为空，要么以移动 (\dagger \to \dagger \mathbin{\unicode{x2295}} \dagger)（或 (\dagger \to \oplus_L \dagger)）开始，然后是解释 (\pi) 的策略中的一个游戏。

可定义策略的性质

可定义策略 (\sigma) 具有以下基本性质：
- 位置性 ：对于任意三条路径 (s, t : \ast \to\to x) 和 (u : x \to\to y)，如果 (s \cdot u \in \sigma)，(s \sim t) 且 (t \in \sigma)，则 (t \cdot u \in \sigma)。这意味着策略是游戏的子图，策略 (\sigma) 诱导游戏的一个子图 (G_\sigma)，由至少一个游戏中包含的所有位置和移动组成，反之，当策略是位置性时，这个子图中的每个游戏都属于该策略。实际上，这个图 (G_\sigma) 可以通过配备由底层游戏诱导的平铺关系而被视为一个异步图。
- 确定性 ：如果策略的图 (G_\sigma) 包含一个移动 (n : x \to y_2) 和一个 Proponent 移动 (m : x \to y_1)，那么它也包含 (m) 沿着 (n) 的残差，从而定义一个形如上述图形的平铺。

下面用 mermaid 流程图展示从公式到异步游戏及策略的构建过程：

graph LR
    A[定义MALL公式语法] --> B[定义位置语法]
    B --> C[定义德摩根对偶]
    C --> D[关联公式到异步游戏GA]
    D --> E[定义游戏上的策略σ]
    E --> F[分析可定义策略的性质]

两种游戏模型的关联

我们已经了解了并发游戏和异步游戏这两种线性逻辑的游戏模型，接下来探讨它们之间的关联。将并发策略与异步策略关联起来可以看作是线性逻辑聚焦属性的语义对应。这意味着我们可以通过某种方式，从异步策略得到并发策略，并且这种转换在语义层面上与线性逻辑的聚焦属性相对应。

聚焦属性的作用

线性逻辑的聚焦属性原本是为了简化证明搜索而发现的，但后来在语义和类型理论中显示出了根本性的作用。在游戏模型中，聚焦属性使得我们能够将证明重新组织，使得公式根处具有相同极性的所有连接词可以一次性引入。在并发游戏和异步游戏的关联中，聚焦属性起到了桥梁的作用，帮助我们建立起两种不同风格游戏模型之间的联系。

具体关联方式

虽然没有详细给出具体的关联算法，但从理论上我们知道这种关联是可行的。可以想象，在异步游戏中，策略可以进行移动的任何交织，而在并发游戏中，策略能够一次性进行多个移动。通过聚焦属性的语义对应，我们可以将异步策略中的移动交织进行合理的整合，从而得到并发策略中一次性进行多个移动的效果。

应用与展望

游戏语义在并发编程中的应用

游戏语义为理解逻辑和类型如何调节计算过程提供了帮助，也为分析和扩展计算过程提供了方法。在并发编程领域，由于缺乏关于好的进程演算和类型系统的共识，研究并发编程语言的指称语义显得尤为必要。已经有一些游戏模型被构建和研究，例如 Ghica 和 Murawski 构建了扩展了并行组合和互斥锁的 Idealized Algol 的完全抽象模型，Laird 构建了类型化异步 π - 演算的游戏语义。

未来研究方向

未来的研究可以进一步深入探索并发游戏和异步游戏之间的关联，完善关联算法，使其更加高效和准确。还可以将游戏语义应用到更多的并发编程语言中，揭示它们的基本结构，尝试将 Curry - Howard 对应扩展到具有并发特征的编程语言中。此外，也可以研究如何利用游戏语义来设计更好的并发编程工具和调试技术。

下面用表格总结异步游戏和并发游戏的对比及关联：
| 对比内容 | 异步游戏 | 并发游戏 | 关联 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 策略建模 | 前缀封闭的游戏集 | 闭包算子 | 通过聚焦属性语义对应 |
| 并发建模 | 移动的任何交织等价 | 一次性进行多个移动 | 可将异步移动交织整合为并发多移动 |
| 应用场景 | 强调真正并发 | 大步语义并发 | 都用于线性逻辑语义研究 |

总结

本文主要介绍了可计算有序阿贝尔群与域以及异步游戏中的聚焦相关内容：
- 在可计算有序阿贝尔群与域方面，我们定义了 (Q(L)) 上的序，给出了相关的定义和命题，并且说明了定理证明的方法。
- 在异步游戏中的聚焦方面，我们介绍了游戏语义的基本概念，包括公式与游戏、玩家交互等。详细阐述了并发游戏和异步游戏这两种游戏模型，以及它们在建模并发行为和策略方面的不同方式。还说明了可定义策略的性质，并展示了从公式到异步游戏及策略的构建过程。最后探讨了两种游戏模型之间的关联以及游戏语义在并发编程中的应用和未来研究方向。

下面用 mermaid 流程图展示整个内容的总结：

graph LR
    A[可计算有序阿贝尔群与域] --> B[定义序和相关概念]
    B --> C[得出命题和证明定理]
    D[异步游戏中的聚焦] --> E[介绍游戏语义基础]
    E --> F[阐述两种游戏模型]
    F --> G[分析可定义策略性质]
    F --> H[探讨两种模型关联]
    H --> I[展望应用和研究方向]
    A --> J[整体内容总结]
    D --> J