33、扩展与折叠操作符的泛化及相关应用

扩展与折叠操作符的泛化及相关应用

1. 引言

在之前的研究中，我们引入了 EXPAND 和 COLLAPSE 操作符，并着重探讨了它们在处理区间集合时的效果。实际上，我们完全可以将这些操作符进行泛化，使其适用于更多类型的集合，这样做可能会带来诸多益处。接下来，我们将简要探讨这种泛化的可能性。

2. 关系集合

设 X 是一个关系集合，其中所有关系都具有相同的关系类型 RT。我们对 EXPAND(X) 和 COLLAPSE(X) 进行如下定义：
- EXPAND(X) ：返回一个关系集合 Y，其中每个关系的基数为 1。当且仅当 X 中存在包含元组 t 的关系时，Y 中才会出现包含元组 t 的关系。特别地，如果 X 为空集，那么 Y 也为空集。
- COLLAPSE(X) ：返回一个仅包含一个关系的集合 Y，该关系的类型为 RT，它是 X 中所有关系的并集。若 X 为空集，Y 包含一个类型为 RT 的空关系；若 X 仅包含一个关系 r，那么 Y 也仅包含该关系 r。

以下是一个示例，展示了关系集合的扩展和折叠形式：
| 给定关系集合 | 扩展形式 | 折叠形式 |
| — | — | — |
| S#: $2, $2, $1, $4, $2, $4, $1, $1, $2, $3, $2, $3, $4, $3 | s, | S#: 51, 52, $3, 54 |

3. 集合的集合

同样地，我们可以为集合的集合定义 EXPAND 和 COLLAPSE 操作。设 ST 为某种集合类型，X 是一个