23、最优智能体协作：导航问题的高效解决方案

最优智能体协作：导航问题的高效解决方案

1. 最优值函数计算基础

在智能体导航问题中，对于特定的矩阵 (M_1 \in R^{n|U|×9}) 和 (M_2 \in R^{n|U|})，有 (b_s^{LP} = M_1E[x_s^c] + M_2)。当对偶可行性对于特定的 (p) 和 (\alpha) 成立时，若 (z_s \geq 0) 对所有 (s \geq \hat{s}) 都成立，这表明对于所有 (s \geq \hat{s})，BLP（某种线性规划问题）是最优的。也就是说，给定线性系统的状态和输出序列，且输出在所有分离情况下均为非负，那么该状态序列就代表了分离 (s \geq \hat{s}) 时的最优值函数。接下来，需要解决的关键问题是计算合适的系统初始条件 (E[x_{\hat{s}-1}^c])。

2. 小分离情况下最优值函数的计算

• 必要条件的建立 ：首先，对于系统矩阵 (A) 的谱 (\lambda(A))，有如下引理：对于所有满足 (0 < \alpha < 1) 和 (0 < p < 1) 且 (p \neq p’) 的 (\alpha) 和 (p)，矩阵 (A) 的谱 (\lambda(A)) 恰好包含三个特征值 (\lambda_{u,i} \in \lambda(A))（(i = 1, 2, 3)），使得 (|\lambda_{u,i}| > 1)；而对于所有其他特征值 (\lambda_{s,j} \in \lambda(A))（(j = 1, \ldots, 6)），有 (|\lambda_{s,j}| < 1)。这里，下标 (u) 和 (s) 分别表示对