【概率与期望】[CodeForces - 621C]Wet Shark and Flowers

题目大意

有n个鲨鱼围成一圈，每个鲨鱼有一个写着数字的花，第i个鲨鱼的数字在[$l_i,r_i$]区间等概率选取，如果有相邻的两个鲨鱼数字的乘积是p的倍数，那Wet Shark就会给他们每人1000元。

分析

样本空间的大小为$$S=\prod _{i=1}^n(r_i-l_i+1)$$
每种情况是等概率出现的，只需要将所有情况的Wet Shark需要付的钱加起来除以S即可。
然而，显然直接不能这样做，我们考虑优化。
令第i只鲨鱼的取值中有$n{p}_i$个数字被p整除。
$$n{p}_i=\lfloor \frac{r_i}{p}\rfloor -\lfloor \frac{l_i-1}{p}\rfloor$$
考虑第i只和i+1只鲨鱼，如果第i只鲨鱼的数字整除p的，那无论第i+1只鲨鱼取什么数字，积都可以被整除。
如果第i只鲨鱼的数字不能被p整除，那么只有当第i+1只鲨鱼取质数时积才能被p整除。
也就是这两只鲨鱼对答案的贡献$$\begin{gathered} G_i=\frac{2000\ast (n{p}_i\ast (r_{i+1}-l_{i+1}+1)+(r_i-l_i+1-n{p}_i)\ast n{p}_{i+1})\ast {\prod }_{j=1且j̸=i,i+1}^n(r_j-l_j+1)}{S} \\ =\frac{2000\ast (n{p}_i\ast (r_{i+1}-l_{i+1}+1)+(r_i-l_i+1-n{p}_i)\ast n{p}_{i+1})\ast {\prod }_{j=1且j̸=i,i+1}^n(r_j-l_j+1)}{{\prod }_{j=1}^n(r_j-l_j+1)} \\ =\frac{2000\ast (n{p}_i\ast (r_{i+1}-l_{i+1}+1)+(r_i-l_i+1-n{p}_i)\ast n{p}_{i+1})}{(r_i-l_i+1)\ast (r_{i+1}-l_{i+1}+1)} \end{gathered}$$
根据这个公式算出答案即可。
注意：1和n也是相邻的。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100000
int n,p,l[MAXN+10],r[MAXN+10],np[MAXN+10];
double ans;
void Read(int &x){
	char c;
	while(c=getchar(),c!=EOF)
		if(c>='0'&&c<='9'){
			x=c-'0';
			while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
				x=x*10+c-'0';
			ungetc(c,stdin);
			return;
		}
}
void read(){
	Read(n),Read(p);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		Read(l[i]),Read(r[i]);
		np[i]=r[i]/p-(l[i]-1)/p;
	}
}
void solve(){
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)
		ans+=(1.0*np[i]*(r[i%n+1]-l[i%n+1]+1)+1.0*(r[i]-l[i]+1-np[i])*np[i%n+1])/(r[i]-l[i]+1)*2000/(r[i%n+1]-l[i%n+1]+1);
}	
int main()
{
	read();
	solve();
	printf("%.7lf",ans);
}