【DP+线段树优化】[CQBZOJ2933]数据

最新推荐文章于 2024-03-20 21:19:38 发布

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分类专栏：动态规划线段树文章标签： c++ dp 线段树

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本文介绍了一种解决信息学竞赛题中数据合法性修复的问题，通过使用线段树维护区间内的最小值，优化了状态转移方程，实现了在给定约束条件下将数据修改为合法状态所需的最少步骤数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述
Mr_H 出了一道信息学竞赛题，就是给 n 个数排序。输入格式是这样的：
试题有若干组数据。每组数据的第一个是一个整数 n，表示总共有 n 个数待排序；接下来 n 个
整数，分别表示这 n 个待排序的数。
例如：3 4 2 –1 4 1 2 3 4，就表示有两组数据。第一组有 3 个数(4,2,-1)，第二组有 4
个数(1,2,3,4)。可是现在 Mr_H 做的输入数据出了一些问题。例如：2 1 9 3 2 按理说第一组数
据有 2 个数(1,9)，第二组数据有 3 个数，可是“3”后面并没有出现三个数，只出现了一个数“2”
而已！
现在 Mr_H 需要对数据进行修改，改动中“一步”的含义是对文件中的某一个数+1 或-1，写个
程序，计算最少需要多少步才能将数据改得合法。

输入
第一行一个整数 m，表示 Mr_H 做的输入数据包含的整数个数。第二行包含 m 个整数 a[i]，每
个整数的绝对值不超过 10000。

输出
一个整数，表示把数据修改为合法的情况下，最少需要多少步。

样例输入
Copy (如果复制到控制台无换行，可以先粘贴到文本编辑器，再复制)

4
1 9 3 2
样例输出
2
提示
对于 20%的数据，m<=10, |a[i]|<=5;

对于 60%的数据，m<=5000, |a[i]|<=10000

对于 100%的数据，m<=100000, |a[i]|<=10000

分析：DP很显然，f[i]=f[j]+|j-(a[i]+i+1)| i < j <= n+1
时间复杂度O(n^2) ，TLE。
将状态转移方程展开，f[i]=f[j]+j-(a[i]+i+1) j>=a[i]+i+1
f[i]=f[j]-j+a[i]+i+1 j < a[i]+i+1
我们只需要快速找出[i+1,a[i]+i]之间f[j]-j的最小值，[a[i]+i+1,n+1]之间f[j]-j的最小值即可。
我们就可以用一个线段树来维护区间内的最小值。

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define MAXN 100000
#define INF 0x3fffffff
using namespace std;
void Read(int &x){
    char c;
    bool f=0;
    while(c=getchar(),c!=EOF){
        if(c=='-')
            f=1;
        if(c>='0'&&c<='9'){
            x=c-'0';
            while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
                x=x*10+c-'0';
            ungetc(c,stdin);
            if(f)
                x=-x;
            return;
        }
    }
}
int n,a[MAXN+10],f;
struct node{
    int l,r,min1,min2;
}tree[MAXN*4+100];
void build(int i,int l,int r){
    tree[i].l=l;
    tree[i].r=r;
    tree[i].min1=tree[i].min2=INF;
    if(l==r)
        return;
    int mid=(l+r)/2;
    build(i*2,l,mid);
    build(i*2+1,mid+1,r);
}
void insert(int i,int x,int d){
    if(tree[i].l>x||tree[i].r<x)
        return;
    tree[i].min1=min(d-x,tree[i].min1);
    tree[i].min2=min(d+x,tree[i].min2);
    if(tree[i].l==tree[i].r)
        return;
    insert(i*2,x,d);
    insert(i*2+1,x,d);
}
int find(int i,int l,int r,int flag){
    if(tree[i].l>r||tree[i].r<l)
        return INF;
    if(tree[i].l>=l&&tree[i].r<=r){
        if(flag==1)
            return tree[i].min1;
        return tree[i].min2;
    }
    return min(find(i*2,l,r,flag),find(i*2+1,l,r,flag));
}
int main()
{
    int i;
    Read(n);
    for(i=1;i<=n;i++)
        Read(a[i]);
    build(1,1,n+1);
    insert(1,n+1,0);
    for(i=n;i;i--){
        f=min(find(1,i+1,min(i+a[i],n+1),1)+i+1+a[i],find(1,i+a[i]+1,n+1,2)-i-1-a[i]);
        insert(1,i,f);
    }
    printf("%d",f);
}