计算机数字系统简述(Introduction to Computer Digit System)

        引言：

             数字系统(Digit System)，即表示数量的符号。数字系统对于期望或正在从事计算机行业的人来说，是必须了解的。通过这片文章我们来了解一下数字系统，以及几个计算机中常用的数制。

             通过阅读这片文章，你将了解到：

             （1） 了解位置化数字系统与非位置化数字系统。

             （2） 数字系统的基本概念。

             （3） 了解几个在计算机表示中常用的数制，以及为什么更他们受欢迎。

             （4） 描述计算机表示中常用的数制。

             （5） 所涉及到的数制与其他数制间的转换。

             以下的讨论中，我们假定你具备小学数学代数的所有知识。如果你并不了解小学数学代数的知识，我们推荐您先阅读以下几本推荐书目 ：

                    《义务教育课程标准实验教科书 数学 一～六年级》 人民教育出版社

             位置化数字系统：

         在位置化数字系统中，每一个符号(数字)根据他们的位置，都有不同的大小(或者说权重)。

             例如：在256.3(十进制)中，“6”表示“6”，“5”表示“50”，“2”表示“200”，“3”表示3/10(十分之三)。

             因此可以归纳出：在位置化数字系统中，每一位表示的大小，是这一位的符号值乘数制基底与位的幂。(我们将稍后讨论基底)

             

             256.3 ＝ 2 × 10^2 + 5 × 10^1 + 6 × 10^0 + 3 × 10^-1。

             其中，10是这个数字的基底，因为我们例举的256.3是十进制的(十进制的基底为10)。

             可见我们正常时使用的数字都是使用的位置化数字系统。尽管这样，一些非位置化的数字系统也存在在生活中，但他们并不常见，因此我们将在本章的最后讨论非位置化数字系统。             

         十进制系统：

          十进制系统(Decimal,这个单词源自于拉丁词根decem(十))，是我们日常生活中最常用的数字系统，他也是位置化数字系统。在十进制系统中，基底 b＝10。

符号集S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}。由于人类有十个手指，所以我们一直以来采用了十进制作为计数方法。在上一节通过例子我们简单的了解了十进制数的表示方法，可以通过位置量来更形象的表示十进制数。例如：

             

                                    10^2           10^1       10^0       10^-1

              256.3 ＝      2 × 100  ＋  5 × 10 ＋ 6 × 1 +  3 × 0.1  = 256.3

              二进制系统：

          二进制系统(Binary源于拉丁词根bini(二))是计算机所能识别的系统，因为电路有两种状态：开和关(或是高低电平)。在二进制系统中，基底b ＝ 2，S = {0,1}

,二进制系统中的符号常被成为二进制数码或位。在逻辑电路中，用开(高电平)表示1，关(低电平)表示0。

            由于二进制系统也是位置化系统，因此它可以这样表示：

      

            101.11 ＝ 1 × 2^2 + 0 × 2^1 + 0 × 2^0 + 1 × 2^-1 + 1*2^-2

            注意在二进制系统中不能出现2，因为二进制系统中的符号仅有0，1。上面只是为了便于理解。根据上面的方法，我们可以将二进制数字转换为我们更习惯的十进制：

        

             101.11 ＝ 1 × 2^2 + 0 × 2^1 + 0 × 2^0 + 1 × 2^-1 + 1*2^-2

                         ＝ 4 + 0 ＋ 1 ＋ 0.5 ＋ 0.25

                         ＝ 5.75(十进制)

          十六进制系统：

          表示一串二进制数字并不容易，因为它需要很长的一段数字来表示，因此我们需要用一种更好的方式来表示每个二进制数字。十六进制系统(Hexadecimal，hex源自希腊词根hex(六)，decem源自拉丁词根(十))正是解决这个问题的方案。在我们讲到数制间的转换时，你将会明白为什么十六进制表示二进制非常方便。在十六进制系统中，基底b ＝ 16，符号集 S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}，由于9之后没有更多的符号，所以就用字母来表示。注意A,B,C,D,E,F分别相当于十进制中的10,11,12,13,14,15。由于十六进制数也是位置化系统，因此它可以这样表示：

              1FE = 1 × 16^2 + 15 × 16^1 + 14 × 16^0

         

              注意因为F和E分别相当于十进制系统中的15和14，所以在式中我们将它们转换为十进制表示来便于理解。

              

             提示：对于十六进制数15和14，他们对应的十进制值分别是：21，20。

             很明显我们可以通过上面的计算来将一个十六进制数转换为十进制：

              1FE = 1 × 16^2 + 15 × 16^1 + 14 × 16^0

                      = 256 + 240 + 14

                      = 510(十进制)

              同样我们再看一下提示中的一个十六进制数转换为十进制数，我们以15为例：

              15 ＝ 1 × 16^1 + 5 × 16^0

                    =  16 + 5 

                    =  21