day46--动态规划6

•  完全背包

•  518. 零钱兑换 II 

•  377. 组合总和 Ⅳ  

第一题：完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

跟01背包的实现区别在哪里？

答：

for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
            if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }

物品是从小到大遍历，装到装不了然后再从小的开始。

第二题： 零钱兑换 II 

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

• 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
• 输出: 4

解释: 有四种方式可以凑成总金额:

• 5=5
• 5=2+2+1
• 5=2+1+1+1
• 5=1+1+1+1+1

钱币数量不限，说明是完全背包。不过本题要实现的目标是凑成总金额的组合个数。

（1）确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑成总金额的货币组合数为dp[j]

（2）确定递推公式

dp[j]就是所有dp[j-weight[i]]的相加

dp[j]+=dp[j-coins[i]]; 金币j上的组合数等于没加这个金币之前的所有组合数之和

（3）dp数组如何初始化

dp[0]=1  0容量也是一种容量。

（4）确定遍历顺序

本题求的是组合数，不考虑排列的问题，所以应该是先遍历物品，再遍历容量

        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }

（5）举例推导dp数组

先遍历物品，再遍历背包，也就是先横着遍历，再往第二层遍历。

第三题：组合总和Ⅳ

给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。

示例:

• nums = [1, 2, 3]
• target = 4

所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1)

本题还是求组合的个数，类似前面的可重复的硬币，但是硬币是组合问题，本题是排列问题。

动态规划五部曲

（1）确定dp数组及其下标含义

dp[i]：凑成目标正整数i的排列个数。

（2）确定递推公式：

如同硬币题，dp[i]+=dp[i-nums[j]]; 

dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]） 推导出来。

因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分。

（3）dp数组如何初始化

这种递推公式的前提下，大部分dp[0]=1

（4）确定遍历顺序

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包；

如果求排列数就是外层for循环遍历背包，内层for循环遍历物品。

（5）举例推导数组