FCTRL - Factorial的python实现

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本文介绍了一种优化算法，用于快速计算给定整数阶乘的末尾零数量，针对大数值（最高达10亿）进行了性能优化。

题目说明

该题目来源于SPOJ：http://www.spoj.com/problems/FCTRL/
大体意思是给定一个数n，求n的阶乘有多少个0结尾。
由于n最大可以是1000000000，笔者初步的算法1，虽然相比整个n遍历一次O(n)时间复杂度减少了80%，但还是无法满足需求；于是有了算法2；
算法2使用递归实现，对于n = 1000000000,只需要递归12次就可以结束，时间复杂度上大大降低。

算法1

0的产生只能是5的倍数乘以2，也就是5*n*2，而偶数的数量在50%左右，因此不缺2，只缺5；因此只需要找到5或5的倍数的个数，就可以知道0的个数了。

定义0计数器count = 0

定义mod5(n)函数返回n能被5整除的次数；

1、n小于5时，count = 0直接返回；

2、n大于等于5时，从5开始遍历n，间隔为5，也就是遍历的顺序是5,10,15,20..,n-n%5;count +=mod5(i)

3、遍历结束后输出count就是0的个数。

算法2

通过算法1可以发现，对于给定的正整数N，去算0的个数，只需要用所有5的倍数乘起来去算即可，定义:
a(n) = 5n
当n>1时，s(n) = s(n-1)*a(n)
推出s(n) = (1*5)*(2*5)(3*5)*...*(n*5) = 5^n * n!
所以对于给定的正整数N，N！当中所有5的乘积可以简化为N! ~ 5^(N/5)*(N/5!)；
看到上面的式子，就应该想到递归了，完整递归定义：
当n<5时，Z(n) = 0
当n=5时，Z(n) = 1
当n>5时，Z(n) = n/5 + Z(n/5)

算法2代码实现

def z(n):
	if n < 5:
		return 0
	elif n == 5:
		return 1
	else:
		return z(n/5)+n/5
line = input()
for t in range(line):
	n = input()
	print(z(n))