35、正弦振荡器与MATLAB应用详解

正弦振荡器与MATLAB应用详解

1. 振荡器基础概念

振荡器是一类能够产生正弦、方波、三角波和锯齿波等波形的波发生器，本质上是一种能提供自身输入信号的放大电路。正弦振荡器是常见的一种，而非正弦振荡器则被称为弛张振荡器。

振荡器需要具备放大功能，将信号功率从输入放大到输出，同时把部分输出反馈到输入以维持恒定输入。为了维持振荡，正反馈必须足够大以补偿电路损耗，并且实用的振荡器要在预定频率上振荡，所以需要包含一个频率确定装置，本质上是一个带通滤波器，只允许所需频率通过。振荡器的输出通常只包含单一正弦频率。

2. 不同类型的振荡器

2.1 RC振荡器

许多低频振荡器使用电阻和电容构成频率确定网络，被称为RC振荡器，常用于音频频率范围。在RC振荡器中，振荡频率由三个部分的电阻和电容值决定，通常使用可变电阻和电容在反馈网络中进行调谐，以改变相移。对于RC相移振荡器，放大器偏置为A类操作，以最小化信号失真，其振荡频率（谐振频率）可近似表示为：
[ω_0 = \frac{1}{RC\sqrt{n}}]
其中 (n) 是RC部分的数量。

2.2 LC振荡器

另一些振荡器使用电感和电容作为频率确定网络，称为LC振荡器，使用谐振回路，常用于较高的无线电频率。在LC振荡器中，正弦信号由电感和电容的作用产生，反馈信号通过使用反馈线圈或线圈对从振荡器电路的LC谐振回路耦合。

• 阿姆斯特朗振荡器（Armstrong Oscillator） ：通过反馈线圈提供反馈。
• 哈特利振荡器（Hartley Oscillator） ：通过线圈对提供反馈。其简化电路的振荡频率为：
  [ω_0 = \frac{1}{\sqrt{C (L_1 + L_2 + 2M) - (L_1L_2 - M^2)\frac{h_{ob}}{h_{ib}}}}]
  其中 (M) 是互感，(h_{ob}) 和 (h_{ib}) 分别是开路输入时的输出导纳和短路输出时的输入阻抗。
• 考毕兹振荡器（Colpitts Oscillator） ：通过电容对提供反馈。考毕兹振荡器比阿姆斯特朗和哈特利振荡器具有更好的频率稳定性，而且更容易调谐，可用于较宽的频率范围。其振荡频率为：
  [ω_0 = \frac{\sqrt{C_1 + C_2}}{\sqrt{LC_1C_2}(1 + \frac{C_1C_2}{h_{ob}h_{ib}})}]

2.3 晶体振荡器（Crystal Oscillators）

晶体振荡器的主要频率确定元件是石英晶体，由于石英晶体的固有特性，晶体振荡器可以实现极高的频率稳定性。频率几乎完全取决于晶体的厚度，厚度越薄，振荡频率越高。然而，可获得的功率受到晶体在不破裂情况下所能承受的热量限制，加热量取决于能安全通过晶体的电流量，该电流可能在50到200毫安之间。因此，必须对晶体振荡器进行温度补偿，以提高其热稳定性。

晶体振荡器用于对频率精度和稳定性要求极高的应用，如广播发射机和雷达。晶体控制振荡器的频率稳定性取决于品质因数 (Q)，晶体的 (Q) 值可能在10,000到100,000之间。除了石英晶体振荡器，还有使用铯或铷构建的精密振荡器。

石英晶体的符号和等效电路中，电容 (C_1) 表示晶体电极之间的静电电容，一般 (C_1 >> C_2)。其等效电路在 (s) 域的阻抗为：
[Z(s) = \frac{1}{sC_1} || (R + sL + \frac{1}{sC_2})]

由于晶体振荡器的 (Q) 值非常高，电阻 (R) 的值必须非常低，在计算中可以忽略，此时阻抗可表示为：
[Z(s) = \frac{1}{sC_1} || (sL + \frac{1}{sC_2}) = \frac{\frac{1}{sC_1}(sL + \frac{1}{sC_2})}{\frac{1}{sC_1} + sL + \frac{1}{sC_2}}]

该式的分母是一个二次式，意味着存在两个谐振频率。串联分支的谐振发生在阻抗的虚部等于零时，即：
[jωL + \frac{1}{jωC_2} = 0]
解得串联谐振频率 (ω_{0S}) 为：
[ω_{0S} = \frac{1}{\sqrt{LC_2}}]

并联组合的谐振发生在：
[ω_{0P} = \sqrt{\frac{C_1 + C_2}{LC_1C_2}}]

当 (C_1 >> C_2) 时，(ω_{0P}) 近似等于 (ω_{0S})。

示例 ：一个晶体振荡器的标称振荡频率为5 MHz，(Q = 85000)，已知 (L = 50 mH)，(C_1 = 2 pF)，(C_2 = 0.02 pF)。
- 串联谐振频率 (f_{0S})：
[f_{0S} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{50\times10^{-3}\times0.02\times10^{-12}}} \approx 5.033 MHz]
- 并联谐振频率 (f_{0P})：
[f_{0P} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{C_1 + C_2}{LC_1C_2}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2.02\times10^{-12}}{50\times10^{-3}\times2\times10^{-12}\times0.02\times10^{-12}}} \approx 5.058 MHz]
- 电阻 (R) 的值：
由 (Q_{0S} = \frac{ω_{0S}L}{R}) 可得
[R = \frac{2\pi f_{0S}L}{Q_{0S}} = \frac{2\pi\times5.033\times10^6\times50\times10^{-3}}{85\times10^3} \approx 372 Ω]

2.4 皮尔斯振荡器（Pierce Oscillator）

皮尔斯振荡器是一种改进的考毕兹振荡器，使用晶体作为并联谐振电路，因此常被称为晶体控制皮尔斯振荡器。在皮尔斯振荡器中，反馈通过电容从晶体管的集电极提供到发射极，电阻用于建立适当的偏置条件。除了晶体，振荡频率还由可变电容的设置决定。

3. 振荡器相关练习与解答

3.1 运算放大器电路练习

对于一个运算放大器电路，开环增益 (A = 10000)，输入电压 (v_S = 1 V)。
- 推导反馈因子 (β) 的表达式 ：反馈因子是输出电压出现在反相输入的部分，根据电压分压表达式可得
[β = \frac{R_1}{R_F + R_1}]
- 求适当的 (R_F/R_1) 比值使闭环增益 (A_f = 10) ：
由 (A_f = \frac{A}{1 + βA}) 可得
[10 = \frac{10^4}{1 + 10^4β}]
解得 (β = 0.0999)，进而可得 (\frac{R_F}{R_1} = \frac{1}{β} - 1 = 9.01)
- 以dB表示反馈量 ：反馈量为 (1 + βA)，以dB表示为
[Feedback_{dB} = 20\log(1 + βA) = 20\log(1 + 0.0999\times10^4) = 60 dB]
- 求输出电压 (v_{out}) ：(v_{out} = A_fv_S = 10\times1 = 10 V)
- 求反馈电压 (v_f) ：(v_f = βv_{out} = 0.0999\times10 = 0.999 V)
- 求同相输入的输入电压 (v_{in}) ：(v_{in} = v_S - v_f = 1 - 0.999 = 0.001 V)
- 确定开环增益 (A) 降低20%时闭环增益 (A_f) 的降低量 ：
设降低后的开环增益为 (A’)，对应的闭环增益为 (A’_f)，则
[A’_f = \frac{0.8\times10000}{1 + 0.0999\times0.8\times10000} \approx 9.975]
百分比变化为 (\frac{9.975 - 10}{9.975}\times100\% \approx -0.025\%)

3.2 正弦振荡器练习

一个正弦振荡器由增益为 (A = 10) 的放大器和中心频率为 (f_0 = 20 KHz) 的带通滤波器组成。
- 产生持续振荡的频率 (ω_0) 和滤波器的增益 ：产生持续振荡的频率是带通滤波器的中心频率，即
[ω_0 = 2\pi f_0 = 2\pi\times20\times10^3 = 1.26\times10^5 rad/s]
为了维持恒定振幅振荡，必须有 (β(jω_0)A(jω_0) = 1)，已知 (A = 10)，则滤波器在 (ω_0) 处的增益为 (\frac{1}{10} = 0.1)
- 滤波器在频率 (ω_0) 处的增益 ：为0.1

3.3 晶体振荡器证明练习

证明晶体振荡器的并联谐振频率 (ω_{0P} = \sqrt{\frac{C_1 + C_2}{LC_1C_2}})。
这是一个并联电路，谐振频率发生在导纳的虚部等于零时，即
[Y = jω_0C_1 + \frac{1}{jω_0L + \frac{1}{jω_0C_2}} = 0]
经过一系列推导可得
[ω_{0P} = \sqrt{\frac{C_1 + C_2}{LC_1C_2}}]

4. MATLAB应用介绍

4.1 MATLAB和Simulink概述

MATLAB和Simulink是The MathWorks公司的产品，是用于科学和工程计算的优秀软件包。MATLAB能快速高效地解决许多高级数值问题，Simulink是用于建模和模拟动态系统的框图工具。这里主要介绍MATLAB。

4.2 MATLAB命令窗口及使用方法

• 启动与界面 ：启动MATLAB后，可从窗口下拉菜单中选择命令屏幕，看到提示符 >> 或EDU>>（学生版）。
• 使用编辑器/调试器 ：
  1. 从工具栏的文件菜单中选择新建，点击M-文件，进入编辑器窗口。可以为新文件输入脚本或打开以前保存的文件。文件名必须以字母开头，MATLAB区分大小写。文件保存时会自动添加 .m 扩展名，建议使用能描述脚本内容的文件名。同时，可使用软盘或外部驱动器备份文件。
  2. 编写并保存脚本为 .m 文件后，可通过点击文件菜单中的退出编辑器/调试器退出编辑器窗口，MATLAB将返回命令窗口。
  3. 要执行程序，在 >> 提示符后输入文件名（不包含 .m 扩展名），然后按 键，观察执行结果。如果文件保存在其他驱动器，需确保将其添加到MATLAB搜索路径的所需目录中。
• 帮助命令 ：使用 help matlab\iofun 命令可显示输入/输出信息，输入 help 后跟显示菜单中的任何主题可获取相关帮助，如 help matlab\graphics 可获取图形信息。
• 其他常用命令 ：
  • 输入 demo 可查看MATLAB演示菜单，熟悉其功能。
  • 输入 quit 或 exit 可离开MATLAB，输入 clear 可清除所有先前的值、变量和方程但不退出，输入 clc 可清除屏幕但保留所有已使用的值、变量和方程。
  • 所有 % 符号后的文本被MATLAB解释为注释行，在程序执行时将被忽略，注释可与函数或命令在同一行，也可单独成行。

以下是一个简单的流程图，展示了使用MATLAB编辑器编写和执行程序的基本流程：

graph TD;
    A[启动MATLAB] --> B[选择命令屏幕];
    B --> C[从文件菜单选择新建M-文件];
    C --> D[编写脚本];
    D --> E[保存脚本为.m文件];
    E --> F[退出编辑器窗口];
    F --> G[在命令窗口输入文件名执行程序];

总之，不同类型的振荡器在电子设备和放大器电路中有着广泛的应用，通过合理选择和设计振荡器，可以满足不同的频率和稳定性要求。同时，MATLAB为我们分析和设计这些电路提供了强大的工具。

正弦振荡器与MATLAB应用详解（续）

5. 振荡器类型对比总结

为了更清晰地了解各种振荡器的特点，我们将不同类型的振荡器进行对比，如下表所示：
| 振荡器类型 | 频率确定网络 | 反馈方式 | 频率稳定性 | 适用频率范围 | 应用场景 |
| — | — | — | — | — | — |
| RC振荡器 | 电阻和电容 | - | 一般 | 音频频率范围 | 音频设备等 |
| LC振荡器 - 阿姆斯特朗振荡器 | 电感和电容 | 反馈线圈 | 一般 | 较高无线电频率 | 无线电通信等 |
| LC振荡器 - 哈特利振荡器 | 电感和电容 | 线圈对 | 一般 | 较高无线电频率 | 无线电通信等 |
| LC振荡器 - 考毕兹振荡器 | 电感和电容 | 电容对 | 较好 | 较宽频率范围 | 多种通信设备 |
| 晶体振荡器 | 石英晶体 | - | 极高 | 音频到射频范围 | 广播发射机、雷达等 |
| 皮尔斯振荡器 | 晶体作为并联谐振电路 | 电容从集电极到发射极 | 高 | - | 对频率精度要求高的场合 |

从这个表格中，我们可以直观地看到不同振荡器在各个方面的差异，这有助于我们根据具体的需求来选择合适的振荡器。

6. 振荡器设计与选择的考虑因素

在设计和选择振荡器时，需要综合考虑多个因素，以下是详细的分析：
- 频率稳定性要求 ：如果对频率稳定性要求极高，如广播发射机和雷达等应用，晶体振荡器是首选，因为其能提供出色的频率稳定性。而对于一般的音频设备，RC振荡器或LC振荡器可能就足以满足需求。
- 频率范围 ：不同的振荡器适用于不同的频率范围。RC振荡器主要用于音频频率范围，而LC振荡器常用于较高的无线电频率。考毕兹振荡器由于其较好的频率稳定性和易于调谐的特点，可用于较宽的频率范围。
- 电路复杂度 ：皮尔斯振荡器虽然能提供高频率稳定性，但它是基于晶体的改进型考毕兹振荡器，电路相对复杂一些。在对电路复杂度有要求的情况下，需要权衡选择。
- 功率要求 ：晶体振荡器的功率受到晶体所能承受热量的限制，因此在需要较大功率输出的场合，可能需要选择其他类型的振荡器。

以下是一个简单的决策流程图，帮助我们根据需求选择合适的振荡器：

graph TD;
    A[确定频率稳定性要求] --> B{要求极高?};
    B -- 是 --> C[选择晶体振荡器];
    B -- 否 --> D[确定频率范围];
    D --> E{音频范围?};
    E -- 是 --> F[选择RC振荡器];
    E -- 否 --> G{较宽频率范围?};
    G -- 是 --> H[选择考毕兹振荡器];
    G -- 否 --> I[选择阿姆斯特朗或哈特利振荡器];

7. MATLAB在振荡器分析中的应用示例

我们可以使用MATLAB来辅助分析振荡器的性能。例如，对于前面提到的晶体振荡器，我们可以编写MATLAB代码来计算其串联谐振频率、并联谐振频率和电阻值。以下是相应的MATLAB代码：

% 已知参数
L = 50e-3; % 电感值，单位：H
C1 = 2e-12; % 电容C1值，单位：F
C2 = 0.02e-12; % 电容C2值，单位：F
Q = 85000; % 品质因数

% 计算串联谐振频率
f0S = 1/(2*pi*sqrt(L*C2));
disp(['串联谐振频率 f0S = ', num2str(f0S), ' Hz']);

% 计算并联谐振频率
f0P = (1/(2*pi))*sqrt((C1 + C2)/(L*C1*C2));
disp(['并联谐振频率 f0P = ', num2str(f0P), ' Hz']);

% 计算电阻值
f0S_rad = 2*pi*f0S; % 串联谐振频率（弧度/秒）
R = f0S_rad*L/Q;
disp(['电阻值 R = ', num2str(R), ' Ω']);

通过运行这段代码，我们可以快速得到晶体振荡器的相关参数值，验证前面手动计算的结果。

8. 总结与展望

振荡器在电子设备和通信系统中起着至关重要的作用，不同类型的振荡器各有其特点和适用场景。通过对各种振荡器的原理、特性和设计方法的了解，我们可以根据具体需求选择合适的振荡器，以满足不同的频率和稳定性要求。

同时，MATLAB作为一种强大的工具，为我们分析和设计振荡器电路提供了便利。我们可以利用MATLAB进行参数计算、性能模拟等，提高设计效率和准确性。

在未来的电子技术发展中，随着对频率稳定性和精度要求的不断提高，晶体振荡器和相关的改进型振荡器将得到更广泛的应用。同时，新的材料和技术也可能会推动振荡器的性能进一步提升，为电子设备的发展带来更多的可能性。

在实际应用中，我们还可以进一步探索振荡器与其他电路元件的组合，以实现更复杂的功能。例如，将振荡器与放大器、滤波器等结合，构建完整的通信系统。此外，随着物联网、5G等技术的发展，对低功耗、高集成度的振荡器的需求也将不断增加，这将促使我们不断优化振荡器的设计和制造工艺。

总之，振荡器领域充满了机遇和挑战，我们需要不断学习和探索，以跟上技术发展的步伐，为电子技术的进步做出贡献。