10、低维对象与图像处理中的水平集方法应用

低维对象与图像处理中的水平集方法应用

1. 余维数为二的对象

1.1 曲线的几何量定义

在三维空间中，对于曲线的研究，我们可以通过两个水平集函数 $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$ 来定义曲线的几何量。
- 切线向量 ：切线向量 $\vec{T}$ 可以通过对 $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$ 的梯度进行叉乘并归一化得到，公式为：
[
\vec{T} = \frac{\nabla\varphi_1 \times \nabla\varphi_2}{|\nabla\varphi_1 \times \nabla\varphi_2|}
]
需要注意的是，当将 $\varphi_1$ 替换为 $-\varphi_1$ 或者将 $\varphi_2$ 替换为 $-\varphi_2$ 时，切线向量的方向会反转。
- 曲率与法向量 ：曲率乘以法向量 $\kappa\vec{N}$ 是切线向量沿曲线（即弧长 $s$）的导数，可表示为：
[
\kappa\vec{N} = \frac{d\vec{T}}{ds}
]
利用方向导数，它可以写成：
[
\kappa\vec{N} = \nabla\vec{T} \cdot \vec{T} =
\begin{pmatrix}
\nabla T_1 \cdot \vec{T} \
\nabla T_2 \cdot \vec{T} \
\nabla T_3 \cdot \vec{T}
\end{pm