9、计算几何中的多种方法解析

计算几何中的多种方法解析

1. 有符号距离函数的构建

有符号距离函数在计算几何中具有重要作用。通过一系列的推导，我们可以得到相关的计算方程。首先，求解方程 (7.16) 得到每个 $\varphi_s$ 的值，再代入方程 (7.13) 经过化简后可得 $\varphi_{i,j,k} = \lambda$，这里的 $\lambda$ 就是我们要求的最小值。为了求出 $\lambda$，将方程 (7.16) 改写为：
[
\left(\frac{\lambda - \varphi_s}{\Delta x_s}\right)^2 = \frac{\theta_s^2(\Delta x_s)^2}{\tau(\vec{\theta})^2} \quad (7.17)
]
然后对所有空间维度求和得到：
[
\left(\frac{\lambda - \varphi_1}{\Delta x_1}\right)^2 + \left(\frac{\lambda - \varphi_2}{\Delta x_2}\right)^2 + \left(\frac{\lambda - \varphi_3}{\Delta x_3}\right)^2 = 1 \quad (7.18)
]
通过求解二次方程：
[
\left(\frac{\varphi_{i,j,k} - \varphi_1}{\Delta x}\right)^2 + \left(\frac{\varphi_{i,j,k} - \varphi_2}{\Delta y}\right)^2 + \left(\frac{\varphi_{i,j,k} - \varphi_3}{\Delta