最大堆/最小堆

堆有最大堆和最小堆之分。它们在表现形式上都是一棵完全二叉树，在存储时按层次遍历的方式存储。

最大堆就是每个节点的值都>=其左右孩子（如果有的话）值的完全二叉树。

最小堆便是每个节点的值都<=其左右孩子值的完全二叉树。 

设有n个元素的序列{k1,k2,...,kn},当且仅当满足下列关系时,称之为堆。 
 

堆的三种基本操作(以下以最大堆为例)： 

⑴最大堆的插入

由于需要维持完全二叉树的形态，需要先将要插入的结点x放在最底层的最右边，插入后满 足完全二叉树的特点； 
  然后把x依次向上调整到合适位置满足堆的性质,例如下图中插入80,先将80放在最后,然后两次上浮到合适位置. 
  时间：O(logn)。  “结点上浮” 

⑵删除 
   操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔,填充这个孔的方法就是， 
把最后的叶子的值赋给该孔并下调到合适位置，最后把该叶子删除。 
  
如图中要删除72,先用堆中最后一个元素来35替换72,再将35下沉到合适位置,最后将叶子节点删除。 
 “结点下沉” 

 

⑶初始化 
方法1：插入法： 
  从空堆开始，依次插入每一个结点，直到所有的结点全部插入到堆为止。 
  时间：O(n*log(n)) 
  方法2：调整法： 
    序列对应一个完全二叉树；从最后一个分支结点（n div 2）开始，到根（1）为止，依次对每个分支结点进行调整（下沉），
以便形成以每个分支结点为根的堆，当最后对树根结点进行调整后，整个树就变成了一个堆。 
  时间：O(n) 
对如图的序列,要使其成为堆,我们从最后一个分支结点(10/2),其值为72开始,依次对每个分支节点53,18,36 45进行调整(下沉). 
 
 
 

1，8，6，2，5，4，7，3调整为小根堆的过程：