2021-08-18

定义

一维前缀和

s[r]=1 + 2 + 3 +…+ l-1 + l + … + r;
s[r] - s[l-r] = a[l] + … + a[r];

二维前缀和

s[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
s[x2, y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1];

一维差分

给区间[l, r]中的每个数加上c：
s[l]+=c, s[r+1]-=c;

二维差分

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有 元素加上c：
s[x1][y1]+=c, s[x2+1][y1]-=c, s[x1][y2+1]-=c, s[x2+1][y2+1]+=c;

例题

/* 一维前缀和 --------------------------------------------------------------------*/
/* 输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10          */

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N =10e+4;
int n, m,a[N],s[N];
int main()
{
    memset(s, 0, sizeof(s));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        s[i] = s[i-1] + a[i];
    }
    while(m--)
    {
        int l,r;
        scanf("%d%d", &l,&r);
        printf("%d\n", s[r]-s[l-1]);  
    }
    return 0;
}

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;
int s[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        scanf("%d", &s[i]), s[i] += s[i - 1];
    
    while(m -- )
    {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
    }
    
    return 0;
}
/* 二维前缀和 ----------------------------------------------------------------------------------*/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N =1010;

int a[N][N], s[N][N];
signed main()
{
	int n, m, q;
	cin >> n >> m >> q;
	for(int i = 1;i <= n;i ++ )
		for(int j = 1;j <= m;j ++ )
			scanf("%d", &a[i][j]);

	for(int i = 1;i <= n;i ++ )
		for(int j = 1;j <= m;j ++ )
		    s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];//二维前缀和

	while(q -- )
	{
		int x1, y1, x2, y2;
		cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
		printf("%d", s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]);//部分矩阵的和
	}
	int aaa;
	cin >> aaa;
	return 0;
}

//方法二
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int s[N][N];

int main()
{
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
            scanf("%d", &s[i][j]);
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
        }
    while(q -- )
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
    }
    
    return 0;
}

/* 一维差分-------------------------------------------------------------------------------------------------- */
#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N =1e+4;
int n,m,k,a[N], b[N];
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);//一维数据
        b[i] = a[i] - a[i - 1];//原始一维差分
    }
    int l, r, c;
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        b[l] += c;     //将序列中[l, r]之间的每个数都加上c
        b[r + 1] -= c;//利用差分来改变
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        a[i] = b[i] + a[i - 1];//前缀和运算
        printf("%d ", a[i]);
    }
    return 0;
}

/* 二维差分--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- */
#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N =1e+4;
int n,m,k,a[N][N], b[N][N];
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    for(int i = 1;i <= n; i++)
        for(int j = 1;j <= m; j++)
        {
            scanf("%d", &a[i][j]);//二维数据
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);//原始二维差分
        }

    while(k--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
        insert(x1, y1, x2, y2, c);//二维差分改变
    }
    
    for(int i = 1;i <= n; i++)
        for(int j = 1;j <= m; j++)
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];//二维

    for(int i = 1;i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1;j <= m; j++)
                printf("%d",b[i][j]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}//sn - sn-1= an   差分  a1 + an = sn

/*s上题  输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，
其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数n,m,q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
 */