数组的线性查找和二分查找

1.线性查找

线性查找将要查找的关键字和数组中的元素逐个比较，直到找到与关键字匹配的元素，或者查找结束也没有找到关键字为止。如果匹配成功，则返回元素在数组中的下标。

	public static int linearSearch(int arr[], int key) {
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			if (arr[i] == key) {
				return i;
			}
		}
		return -1;
	}

假设数组有1024个元素，最佳情况是key在第一个位置，只需要比较1次，最坏情况是比较1023次，所以线性查找的时间复杂度是O(n).

2.二分查找

二分查找的前提是数组中的元素必须是有序的。假设数组升序排序，二分查找将关键字与数组的中间元素进行比较，有以下3种情况：

1.关键字小于中间元素，在数组的前一半元素中继续查找关键字。

2.关键字和中间元素相等，匹配成功，结束查找。

3.关键字大于中间元素，在数组的后一半元素中继续查找关键字。

时间复杂度：

二分查找在每次比较之后排除一半或者一半+1的数组元素。假设数组有n个元素，经过第一次比较，剩下n/2个元素，第二次比较，剩下n/2/2个元素，经过k次查找之后，剩下n/2的k次方个元素需要查找，当k = log2(n)时，数组中只剩下一个元素，最后只需要再比较log2(n)+1次,时间复杂度为O(logn)。与线性查找相比，1024个元素的数组最坏情况下只需要比较log2(1024)+1=11次，而线性查找最坏需要比较1023次。

实现思路：

从第一次迭代的实现开始，将关键字key和低下标low为0，高下标high为arr.length-1的中间元素比较

		int low = 0;
		int high = arr.length - 1;
		
		int mid = (low + high)/2;
		if (key < arr[mid]) {
			high = mid - 1;
		} else if (key == arr[mid]) {
			return mid;
		} else {
			low = mid + 1;
		}

第二部，在外层增加一个循环，重复查找，缩小范围，注意循环条件low <= high，如果条件是low<high，则当数组中只有1个元素时，查找会漏掉这个元素。

		int low = 0;
		int high = arr.length - 1;
		while (low <= high) {
			int mid = (low + high)/2;
			
			if (key < arr[mid]) {
				high = mid - 1;
			} else if (key == arr[mid]) {
				return mid;
			} else {
				low = mid + 1;
			}
		}

当没有查找到key时，可以考虑返回key值的插入位置，low的位置是插入点，在这个位置插入元素可以保持数组的有序性，一般返回负数，表示这个位置不在数组中，一般情况下，可以返回-low，但是当查找的元素小于数组的最小值时，查找结束时low的值为0，-0 = 0，会产生元素在位置0的歧义，最好的方式是返回-low-1.表示在-low-1的位置上（非下标）插入

完整实现：

public class Search {

	public static void main(String[] args) {
		int[] arr = {3,4,12,22,33,40,54,82,99,1023};
		System.out.println("binarySearch(arr, 22)=" + binarySearch(arr, 22));
		System.out.println("binarySearch(arr, 880)=" + binarySearch(arr, 880));
	}
	
	public static int binarySearch(int arr[], int key) {
		int low = 0;
		int high = arr.length - 1;
		while (low <= high) {
			int mid = (low + high)/2;
			
			if (key < arr[mid]) {
				high = mid - 1;
			} else if (key == arr[mid]) {
				return mid;
			} else {
				low = mid + 1;
			}
		}
		return -low -1;
	}
}

输出：
binarySearch(arr, 22)=3
binarySearch(arr, 880)=-10