47、延迟决策与预留成本相关问题研究

延迟决策与预留成本相关问题研究

1. 带延迟决策的反馈顶点集问题

在图论中，带延迟决策的反馈顶点集问题旨在找到图中顶点的最小子集，移除这些顶点后可使图无环。在延迟决策模型下，我们对该问题的竞争比给出了近乎匹配的界。

• 下界定理 ：对于任意给定的 ε > 0，不存在能使带延迟决策的反馈顶点集问题达到 4 - ε 竞争比的算法。

  • 证明思路 ：采用对抗策略构建图。首先给出一个环，迫使算法删除一个顶点。接着，对手重复以下操作 n 次：从之前的环中选两个不同顶点，用新路径连接形成新环，每次添加半环时算法都需删除一个顶点。之后将剩余的分支点交替分成集合 A 和 B，连接 A、B 中顶点对形成新环，算法需删除 A 或 B 中的所有顶点。最后对手添加自环，迫使删除 B 中的所有分支点。最优解仅包含 B 中的顶点，可能还有第一个和最后一个环中的另一个顶点。在线算法至少需删除 2n - 1 个顶点，而最优算法最多删除 n/2 + 1 个顶点，当 n 足够大时，竞争比大于 4 - ε。

• 算法 1：Online SubG - 2 - 3 ：该算法保证竞争比为 5，是 Bar - Yehuda 等人提出的 4 - 近似算法的改进版本。

  • 算法流程 ：

H ← ∅, F ← ∅
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