12、计算理论与密码学中的多项式时间算法

计算理论与密码学中的多项式时间算法

在计算理论和密码学领域，有许多重要的概念和算法值得深入探讨。本文将介绍图灵机、确定性多项式时间、相关算法及其计算复杂度等内容。

1. 图灵机简介

图灵机是一种假想的计算设备，由图灵提出，用于提供一种原始但足够通用的计算模型。我们使用的图灵机变体由有限状态控制单元、若干条磁带（数量为 (k\geq1)）和相同数量的磁头组成。

图灵机解决问题的过程如下：
- 磁头扫描放置在一条磁带最左侧单元格中的有限符号串，每个符号占据一个单元格，磁带右侧其余单元格为空，这个符号串就是问题的输入。
- 扫描从包含输入的磁带最左侧单元格开始，机器处于指定的初始状态。
- 任何时候只有一个磁头访问其磁带，磁头对磁带的一次访问步骤称为一次（合法）移动。
- 如果机器从初始状态开始，依次进行合法移动，完成对输入字符串的扫描，最终满足终止条件并终止，则称该机器识别了输入；否则，机器在某一点将没有合法移动可做，将停止而不识别输入。被图灵机识别的输入称为可识别语言中的一个实例。

图灵机的运行时间 (T_M) 是指机器识别输入所采取的移动次数，可表示为关于输入实例长度 (n) 的函数 (T_M(n))，显然 (T_M(n)\geq n)。此外，机器还有空间需求 (S_M)，即磁头在写入访问中访问过的磁带单元格数量，也可表示为函数 (S_M(n))，称为机器的空间复杂度。

2. 确定性多项式时间

我们考虑由确定性图灵机在多项式时间内可识别的语言类。一个函数 (p(n)) 是关于整数 (n) 的多项式，形式如下：
[p(n)=c_k n^k + c_{k - 1} n^{