hdu 5735（dp的神来一笔，中分位，分祖先和儿子）

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本文介绍了一种结合树形动态规划与位运算的算法，用于解决特定类型的最优化问题。通过将问题分解并利用位操作特性，在树结构中递归地计算节点的最大贡献值。

Born Slippy

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;

int op;
ll ans;
ll w[100010];
int f[100010];
ll dp[300][300];
ll use[100010][300];
int vis[300];
char str[5];
vector<int>vec[100010];
const int mod=1e9+7;

ll opt(ll a,ll b)
{
    if(op==1) return a^b;
    if(op==2) return a&b;
    if(op==3) return a|b;
}

void dfs(int u)
{
    ll a=w[u]>>8;
    ll b=w[u]&255;
    ll sum=0;
    for(int i=0;i<256;i++)
        if(vis[i])
            sum=max(sum,dp[i][b]+(opt(a,i)<<8));
    ans=(ans+(u*(sum+w[u])%mod))%mod;
    vis[a]++;
    for(int i=0;i<256;i++)
    {
        use[u][i]=dp[a][i];
        dp[a][i]=max(dp[a][i],sum+opt(b,i));
    }
    for(int i=0;i<vec[u].size();i++)
        dfs(vec[u][i]);
    for(int i=0;i<256;i++)
        dp[a][i]=use[u][i];
    vis[a]--;
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d%s",&n,str);
        if(str[0]=='X') op=1;
        if(str[0]=='A') op=2;
        if(str[0]=='O') op=3;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            vec[i].clear();
        memset(vis,false,sizeof(vis));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lld",&w[i]);
        }
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&f[i]);
            vec[f[i]].push_back(i);
        }
        ans=0;
        dfs(1);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

感谢叉姐在ICPCCamp上出的这道题最初的原型 -- Data Structure You've Never Heard Of, 同样感谢Claris老师的教导.

由于and, or和xor方法都差不多, 这里仅考虑and操作. 不妨令 $dp(s)=f(s)-w_s$ , 我们大概要求的就是 $wj}dp(i)=\displaystyle\max_{j \text{ is ancestor of } i}{dp(j)+w_i\text{ and }w_j}$ . 然后, 显然 $wjdp(j)+w_i\text{ and }w_j$ 这个式子可以拆成 $d p (j)$ +[ $w_i$ 后8位] and [ $w_j$ 后8位] + ([ $w_i$ 前8位] and [ $w_j$ 前8位]) << 8.

先考虑序列上应该如何做, 即求 $wj}dp(i)=\displaystyle\max_{j < i}{dp(j)+w_i\text{ and }w_j}$ . 考虑这样一个二维数组 $d s (x, y)$ , 表示对于某个 $w_i$ 的后8位为 $y$ , 对于某个 $w_j$ 的前8位为 $x$ 时, $d p (j)$ + [ $w_i$ 后8位] and [ $w_j$ 后8位]的最值.

如果知道了上述数组, 那么对于某个 $i$ , 计算 $d p (i)$ 的值就十分方便, 不妨令 $w_i=(a << 8) | b$ , 即 $a$ 和 $b$ 分别是 $w_i$ 前8位和后8位, 那么只需要枚举 $w_j$ 的前8位 $x$ , 用 $\text{ and } x) << 8)$ 更新 $d p (i)$ . 把新的 $d p$ 值更新到 $d s (x, y)$ 也是类似的.