Dijkstra算法

戴克斯特拉算法(Dijkstra’s algorithm)是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·戴克斯特拉提出。迪科斯彻算法使用了广度优先搜索解决非负权有向图的单源最短路径问题，算法最终得到一个最短路径树。该算法常用于路由算法或者作为其他图算法的一个子模块。其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

该算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及G中的一个来源顶点 S。我们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。(u, v) 表示从顶点 u 到 v 有路径相连。我们以 E 表示G中所有边的集合，而边的权重则由权重函数 w: E → [0, ∞] 定义。因此，w(u, v) 就是从顶点 u 到顶点 v 的非负权重(weight)。边的权重可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的权重，就是该路径上所有边的权重总和。已知有 V 中有顶点 s 及 t，Dijkstra 算法可以找到 s 到 t的最低权重路径(例如，最短路径)。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点 s 到任何其他顶点的最短路径。对于不含负权的有向图，Dijkstra算法是目前已知的最快的单源最短路径算法。

算法步骤：

1. 初始时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值，若存在<v0,vi>，d(V0,Vi)为<v0,vi>弧上的权值，若不存在<v0,vi>，d(V0,Vi)为∞。

2. 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中，加入S。

3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值。

4.重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止。

例子如下：

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxnum=100;
const int maxint=999999;
//数组都从下标1开始
int dist[maxnum];
int prev[maxnum];
int c[maxnum][maxnum];
int n,line;
// n -- n nodes
// v -- the source node
// dist[] -- the distance from the ith node to the source node
// prev[] -- the previous node of the ith node
// c[][] -- every two nodes' distance
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])
{
	bool s[maxnum];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		dist[i]=c[v][i];
		s[i]=0;
		if(dist[i]==maxint)
			prev[i]=0;
		else
			prev[i]=v;

	}
	dist[v]=0;
	s[v]=1;
	// 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中
	// 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度
    // 注意是从第二个节点开始，第一个为源点
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
    	int tmp = maxint;
		int u = v;
		// 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
		for(int j=1; j<=n; ++j)
			if((!s[j]) && dist[j]<tmp)
			{
				u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
				tmp = dist[j];
			}
		s[u] = 1;    // 表示u点已存入S集合中
 
		// 更新dist
		for(int j=1; j<=n; ++j)
			if((!s[j]) && c[u][j]<maxint)
			{
				int newdist = dist[u] + c[u][j];
				if(newdist < dist[j])
				{
					dist[j] = newdist;
					prev[j] = u;
				}
			}
    }
}
// 查找从源点v到终点u的路径，并输出
void searchPath(int *prev,int v, int u)
{
	int que[maxnum];
	int tot = 1;
	que[tot] = u;
	tot++;
	int tmp = prev[u];
	while(tmp != v)
	{
		que[tot] = tmp;
		tot++;
		tmp = prev[tmp];
	}
	que[tot] = v;
	for(int i=tot; i>=1; --i)
		if(i != 1)
			cout << que[i] << " -> ";
		else
			cout << que[i] << endl;
}
int main()
{
	freopen("input.txt", "r", stdin);
	// 各数组都从下标1开始
 
	// 输入结点数
	cin >> n;
	// 输入路径数
	cin >> line;
	int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度
 
	// 初始化c[][]为maxint
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		for(int j=1; j<=n; ++j)
			c[i][j] = maxint;
 
	for(int i=1; i<=line; ++i)  
	{
		cin >> p >> q >> len;
		if(len < c[p][q])       // 有重边
		{
			c[p][q] = len;      // p指向q
			c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图
		}
	}
 
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		dist[i] = maxint;
	for(int i=1; i<=n; ++i)
	{
		for(int j=1; j<=n; ++j)
			printf("%8d", c[i][j]);
		printf("\n");
	}
 
	Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);
 
	// 最短路径长度
	cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;
 
	// 路径
	cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";
	searchPath(prev, 1, n);
}