热题100-95

编辑距离（Edit Distance）是字符串处理中的经典问题，它衡量了将一个字符串转换为另一个字符串所需的最少操作次数（插入、删除、替换）。这一问题在自然语言处理、拼写检查、DNA 序列比对等领域有着广泛应用。本文将用动态规划的思路，详细解析如何高效解决这一问题。

问题定义

给定两个单词 word1 和 word2，返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数。允许的操作有三种：

• 插入一个字符
• 删除一个字符
• 替换一个字符

动态规划思路

状态定义

我们定义 dp[i][j] 表示：将 word1 的前 i 个字符（word1[0...i-1]）转换为 word2 的前 j 个字符（word2[0...j-1]）所需的最少操作次数。

初始状态

• 当 i = 0（word1 为空）：需要插入 j 个字符才能得到 word2 的前 j 个字符，因此 dp[0][j] = j。
• 当 j = 0（word2 为空）：需要删除 i 个字符才能得到空字符串，因此 dp[i][0] = i。

状态转移

对于 dp[i][j]，我们分两种情况讨论：

1. 当前字符相等（word1[i-1] == word2[j-1]）：此时不需要额外操作，状态直接继承自 dp[i-1][j-1]，即 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。

2. 当前字符不相等：需从三种操作中选择最优解（取最小值）：

   • 插入操作：dp[i][j-1] + 1（word1 前 i 个字符已匹配 word2 前 j-1 个字符，插入一个字符匹配 word2[j-1]）。
   • 删除操作：dp[i-1][j] + 1（word1 前 i-1 个字符已匹配 word2 前 j 个字符，删除 word1[i-1]）。
   • 替换操作：dp[i-1][j-1] + 1（将 word1[i-1] 替换为 word2[j-1]，使两者匹配）。因此，dp[i][j] = min(dp[i][j-1]+1, dp[i-1][j]+1, dp[i-1][j-1]+1)。

代码实现

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int n = word1.size(), m = word2.size();
        // 初始化dp数组，dp[i][j]表示word1前i个字符转word2前j个字符的最少操作数
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
        
        // 处理初始状态：其中一个字符串为空的情况
        for (int i = 0; i <= n; i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= m; j++) dp[0][j] = j;
        
        // 填充dp数组
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    // 字符相等，无需额外操作
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    // 字符不等，取三种操作的最小值
                    dp[i][j] = min({
                        dp[i][j - 1] + 1,   // 插入
                        dp[i - 1][j] + 1,   // 删除
                        dp[i - 1][j - 1] + 1// 替换
                    });
                }
            }
        }
        
        return dp[n][m];
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(n \times m)\)，其中 n 是 word1 的长度，m 是 word2 的长度。我们需要填充一个 (n+1)×(m+1) 的二维数组，每个单元格的计算时间为 \(O(1)\)。
• 空间复杂度：\(O(n \times m)\)，用于存储二维 dp 数组。

示例验证

以示例 1 为例：word1 = "horse"，word2 = "ros"

• dp 数组最终计算结果为 dp[5][3] = 3，与题目输出一致（操作：替换h为r、删除r、删除e）。

以示例 2 为例：word1 = "intention"，word2 = "execution"

• dp 数组最终计算结果为 dp[9][9] = 5，与题目输出一致（操作：删除t、替换i为e、替换n为x、替换n为c、插入u）。

通过动态规划，我们高效地解决了编辑距离问题，这一思路不仅逻辑清晰，还能保证在合理时间和空间复杂度内处理大部分字符串转换场景。