数学基础二：点到直线距离公式推导

推导前置：两点之间距离公式

图一：

已知AB两点坐标为A（x1,y1），B(x2,y2)。
过A做一直线与X轴平行，过B做一直线与Y轴平行，两直线交点为C。
则AC垂直于BC（因为X轴垂直于Y轴）
则三角形ACB为直角三角形
由勾股定理得
$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$$
即
$$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}$$

已知直线方程：

一般式
$$Ax+By+C=0$$
点斜式
$$\frac{(y1-y2)}{(x1-x2)}=k$$

过P(x0,y0)作直线L的垂线Li，垂足为D(x,y)，p(x0,y0)到D(x,y)的距离为d

由一般式直线方程可知，直线L的斜率为：-
$$k=-\frac{A}{B}$$

由于两线垂直斜率乘积为-1，所以垂线Li的斜率为：
$$ki=\frac{B}{A}$$

代入点斜式直线方程：

$$\frac{y0-y}{x0-x}=\frac{B}{A}$$

即得到直线方程二：
$$Bx-Ay+Ay0-Bx0=0$$

通过一般式可知：
$$x=\frac{-(c+By)}{A}$$

$$y=\frac{-(c+Ax)}{B}$$

代入直线方程二

$$Bx+\frac{AC+A^2\ast x}{B}+Ay0-Bx0=0$$

计算得到D(x,y)的坐标为：

$$x=\frac{B^2\ast x0-ABy0-AC}{B^2+A^2}$$

$$y=\frac{A^2\ast y0-ABx0-BC}{B^2+A^2}$$

$$x-x0=\frac{-A(Ax0+By0+C)}{B^2+A^2}$$

$$y-y0=\frac{-B(Ax0+By0+C)}{B^2+A^2}$$

根据推导前置图一勾股定理可知：

$$d^2=(x-x0{)}^2+(y-y0{)}^2$$

所以代入x-x0，y-y0得到：
$$d^2=\frac{(-A(Ax0+By0+C)}{(B^2+A^2){)}^2}+\frac{(-B(Ax0+By0+C)}{(B^2+A^2){)}^2}$$

$$d^2=\frac{A^2(Ax0+By0+C{)}^2}{(B^2+A^2{)}^2}+\frac{B^2(Ax0+By0+C{)}^2}{(B^2+A^2{)}^2}$$

$$d^2=\frac{(A^2++B^2)(Ax0+By0+C{)}^2}{(B^2+A^2{)}^2}$$

$$d^2=\frac{(Ax0+By0+C{)}^2}{(B^2+A^2)}$$

得出点到直线距离公式为：

$$d=\frac{|Ax0+By0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$