36、图的循环横截问题的核化与在线区间调度算法研究

图的循环横截问题的核化与在线区间调度算法研究

在图论和调度问题领域，循环横截问题和在线区间调度问题有着重要的研究价值和广泛的应用场景。下面将详细介绍图的循环横截问题的核化规则、相关定理证明以及在线区间调度算法的研究成果。

图的循环横截问题核化

• 缩减规则2.2 ：在图的循环横截问题中，首先有缩减规则2.2。该规则要求在集合A中计算一个最大的边集M，使得V1中的每个顶点最多与M中的k + 1条边相关联。然后删除Q中对应于V2中不与M中的边相关联的顶点。此规则可以在多项式时间内应用，具体做法是对V1中的每个顶点制作k + 1个副本，然后计算所得二分图的最大匹配。
• 引理3 ：引理3证明了缩减规则2.2的正确性。设G和G′分别是应用缩减规则2.2前后的图。如果G′有一个大小为k的横截集S，那么S也是G的横截集。假设不成立，即G中存在一个未被覆盖的s - 循环C，那么C必定包含一个被删除的顶点v2∈Q和对应于V1中一个顶点v1的路径P。根据A的构造方式，P被G′中k + 1个边不相交且共享P的s - 循环所共享，所以P中的某条边必定也在S中，这与C未被覆盖相矛盾。
• 定理2 ：对于任何s > 4，s - 循环横截问题存在一个O(ks−1)的问题核。基于算法reduce(G)，W中s - 循环的任何单条边最多可以覆盖ss−4(k + 1)s−3个s - 循环。如果W中的s - 循环数量超过ss−4(k + 1)s−2，那么W不能被任何大小为k的边集覆盖。因此，G[W]中的顶点数不超过ss−3(k + 1)s−2。根据缩减规则2.2，W中