二叉树是一种很重要的非线性数据结构

二叉树是一种很重要的非线性数据结构，它的特点是每个结点最多有两个后件，且其子树有左右之分（次序不能任意颠倒）。
1、二叉树的递归定义和基 本形态
二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空，或者满足以下条件：
⑴有一个特定的结点称为根；
⑵余下的结点分为互不相 交的子集L和R，其中R是根的左子树；L是根的右子树；L和R又是二叉树；
由上述定义可以看出，二叉树和树是两个不同的概念
⑴树的每 一个结点可以有任意多个后件，而二叉树中每个结点的后件不能超过2；
⑵树的子树可以不分次序（除有序树外）；而二叉树的子树有左右之分。我们称 二叉树中结点的左后件为左儿子，右后件为右儿子。
2、二叉树的两个特殊形态
⑴满二叉树： 如果一棵二叉树的任何结点，或者是树叶，或者恰有两棵非空子树，则此二叉树称作满二叉树。可以验证具有n个叶结点的满二叉树共有2n-1个结点。
⑵ 完全二叉树：如果一棵二叉树最多只有最下面两层结点度数可以小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则称此二叉树为完全二叉树
3、 二叉树的三个主要性质
性质1：在二叉树的第i（≥1）层上，最多有2i-1个 结点
证明：我们采用数学归纳法证明：当i=1时只有一 个根结点，即2i-1=20=1，结论成立。假设第k(i=k)层上最多有2k-1个结点，考虑i=k+1。由归纳假设，在二叉树第k层上最多有2k-1 个结点，而每一个结点最多有两个子结点，因此在第k+1层上最多有2．2k-1=2(k+1)-1=2i，结论成立。综上所述，性质1成立。
性 质2：在深度为k(k≥1)的二叉树中最多有2k-1个 结点。
证明：由性质1，在二叉树第i层上最多有2i-1个结点，显然，第1层¨第k层 的最多结点数为 个结点。证毕。
性质3：在任何二叉树中，叶子结点数总比度为2的结点多1。
证明：设n0为二叉树的叶结点数；n1为 二叉树中度为1的结点数；n2为二叉树中度为2的结点数，显然n=n0+n1+n2 （1）
由于二叉树中除了根结点外，其余每个结点都有且仅有 一个前件。设 b为二叉树的前件个数，n=b+1（2）
所有这些前件同时又为度为1和度为2的结点的后件。因此又有b=n1+2n2 (3)
我 们将（3）代入（2）得出n=n1+2n2+1 (4)
比较（1）和（4），得出n0=n2+1,即叶子数比度为2的结点数多1
4、 普通有序树转换成二叉树
普通树为有序树T，将其转化成二叉树T’的规则如下：
⑴T中的结点与T’中的结点一一对应，即T中每个结点的 序号和值在T’中保持不变；
⑵T中某结点v的第一个儿子结点为v1，则在T’中v1为对应结点v的左儿子结点；
⑶T中结点v的儿子序 列，在T’中被依次链接成一条开始于v1的右链；
由上述转化规则可以看出，一棵有序树转化成二叉树的根结点是没有右子树的，并且除保留每个结点 的最左分支外，其余分支应去掉，然后从最左的儿子开始沿右儿子方向依次链接该结点的全部儿子。
5、二叉树的存储结构
将每个结点依次存 放在一维数组中，用数组下标指示结点编号，编号的方法是从根结点开始编号1，然后由左而右进行连续编号。每个结点的信息包括
⑴一个数据域 （data）；
⑵三个指针域，其中有父结点编号（prt）、左儿子结点编号（lch）和右儿子结点编号（rch）。
满二叉树和完全二 叉树一般采用顺序存储结构
对于一般的二叉树，通常采用链式分配，即用二重链表表示一般的二叉树。这种链式分配即可以采用静态数据结构（数组）， 又可以采用动态数据结构（指针）。如果二叉树的存储需求量超过64Kb，则采用后者。由于二叉树中每个结点通常包括数据元素和两个分支。因此二叉树对应的 二重链表中每个结点应有三个域：
⑴值域： data
⑵左指针域： lch
⑶右指针域： rch
这种链表也称为二 叉链表。二叉链表头指针bt指向二叉树的根结点
6、二叉树的遍历
二叉树遍历的定义：按照一定的规律不重复地访问(或取出结点中的信 息，或对结点作其它的处理)二叉树中的每一个结点。
二叉树遍历的顺序：如果用L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点、遍历右子树，则对二叉 树的遍历可以有下列六种（3!=6）组合：LDR、 LRD、 DLR、 DRL、RDL、 RLD。若再限定先左后右的次序，则只剩下三种组合：LDR（中序遍历）、LRD（后序遍历）、DLR（前序遍历）。
前序遍历的规则如下：
若 二叉树为空，则退出。否则
⑴访问处理根结点；
⑵前序遍历左子树；
⑶前序遍历右子树；
特点：由左而右逐条访问由根 出发的树支 （回溯法的基础）
中序遍历的规则：
若二叉树为空，则退出；否则
⑴中序遍历左子树；
⑵访问处理根结 点；
⑶中序遍历右子树；
后序遍历的规则如下：
若二叉树为空，则退出；否则
⑴后序遍历左子树；
⑵后序遍 历右子树；
⑶访问处理根结点；
特点：可统计任一个结点为根的子树的情况（例如子树的权和，最优策略的选择（博弈数））