C++ 图基础知识总结

图的定义：

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。在图中数据元素我们则称之为顶点(Vertex)，图结构强调顶点集合V要有穷非空。图结构中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。

无向边：若顶点Vi到Vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边(Edge)，用无序偶(Vi,Vj)来表示。

例：

V1={A,B,C,D}，
E1={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C)}

有向边：若从顶点Vi到Vj的边有方向，则称这条边为有向边，也成为弧(Arc)，用有序偶<Vi,Vj>来表示，Vi称为弧尾，Vj称为弧头。

例：

V2={A,B,C,D}，
E2={<B,A>,<B,C>,<C,A>,<A,D>}

简单图：在图结构中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。

无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。

有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n*(n-1)条边。

稀疏图和稠密图：这里的稀疏和稠密是模糊的概念，都是相对而言的，通常认为边或弧数小于n*logn（n是顶点的个数）的图称为稀疏图，反之称为稠密图。

有些图的边或弧带有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权(Weight)，带权的图通常称为网(Network)。

假设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2)，如果V2⊆V1，E2⊆E1，则称G2为G1的子图(Subgraph)。

对于无向图G=(V,E)，如果边(V1,V2)∈E，则称顶点V1和V2互为邻接点(Adjacent)，即V1和V2相邻接。边(V1,V2)依附(incident)于顶点V1和V2，或者说边(V1,V2)与顶点V1和V2相关联。

顶点V的度(Degree)是和V相关联的边的数目，记为TD(V)

对于有向图G=(V,E)，如果有<V1,V2>∈E，则称顶点V1邻接到顶点V2，顶点V2邻接自顶点V1。

以顶点V为头的弧的数目称为V的入度(InDegree)，记为ID(V)，以V为尾的弧的数目称为V的出度(OutDegree)，记为OD(V)，因此顶点V的度为TD(V)=ID(V)+OD(V)。

无向图G=(V,E)中从顶点V1到顶点V2的路径(Path)，如果G是有向图，则路径也是有向的。

路径的长度是路径上的边或弧的数目。第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环(Cycle)。序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径，除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。

 

在无向图G中，如果从顶点V1到顶点V2有路径，则称V1和V2是连通的，如果对于图中任意两个顶点Vi和Vj都是连通的，则称G是连通图(ConnectedGraph)

无向图中的极大连通子图称为连通分量。

在有向图G中，如果对于每一对Vi到Vj都存在路径，则称G是强连通图。有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。

所谓的一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。

如果一个有向图恰有一个顶点入度为0，其余顶点的入度均为1，则是一棵有向树。

邻接矩阵

int matrix[MAX_VERTEX][MAX_VERTEX]

邻接表

struct Side{
int index;
int weight;
Side* next;
}

struct Vertex{
char data;
Side* first;
}

typedef Vertex AdjList[MAX_VERTEX];

struct AdjGraph
AdjList adjlist;
int num_vertex;
int num_side;
}

十字链表

struct Side{
int tail;
int head;
Side* head_next;
Side* tail_next;
}
struct Vertex{
char data;
Side* in_first;
Side* out_first;
}

typedef Vertex AdjList[MAX_VERTEX];

struct AdjGraph{
AdjList adjlist;
int num_vertex;
int num_side;
}

邻接多重表

struct Side{
int i;
Side* i_next;
int j;
Side* j_next;
}
struct Vertex{
char data;
Side* first;
}

typedef Vertex AdjList[MAX_VERTEX];

struct AdjGraph{
AdjList adjlist;
int num_vertex;
int num_side;
}

边集数组

char VertexList[MAX_VERTEX];
struct Side{
int begin;
int end;
int weight;
}
typedef Side SideList[MAX_SIDE];