PRML读书会第十一章 Sampling Methods(MCMC, Markov Chain Monte Carlo,Metropolis-Hastings,Gibbs Sampling)

本文介绍了Markov Chain Monte Carlo (MCMC) 方法,包括Metropolis-Hastings算法和Gibbs Sampling。通过这些方法,可以解决统计学中复杂的分布积分问题,特别是在贝叶斯方法中。Metropolis-Hastings算法通过接受率公式确保细致平稳条件,而Gibbs Sampling作为其特例,每次只对一个变量进行采样。此外,还讨论了步长选择、slice sampling和Hamiltonian MCMC等技术,以及如何判断MCMC的burn-in阶段何时收敛。

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主讲人 网络上的尼采

(新浪微博:@Nietzsche_复杂网络机器学习

网络上的尼采(813394698) 9:05:00 
今天的主要内容:Markov Chain Monte Carlo,Metropolis-Hastings,Gibbs Sampling,Slice Sampling,Hybrid Monte Carlo。

上一章讲到的平均场是统计物理学中常用的一种思想,将无法处理的复杂多体问题分解成可以处理的单体问题来近似,变分推断便是在平均场的假设约束下求泛函L(Q)极值的最优化问题,好处在于求解过程中可以推出精致的解析解。变分是从最优化的角度通过坐标上升法收敛到局部最优,这一章我们将通过计算从动力学角度见证Markov Chain Monte Carlo收敛到平稳分布。

先说sampling的原因,因为统计学中经常会遇到对复杂的分布做加和与积分,这往往是intractable的。MCMC方法出现后贝叶斯方法才得以发展,因为在那之前对不可观测变量(包括隐变量和参数)后验分布积分非常困难,对于这个问题上一章变分用的解决办法是通过最优化方法寻找一个和不可观测变量后验分布p(Z|X)近似的分布,这一章我们看下sampling的解决方法,举个简单的例子:比如我们遇到这种形式,z是个连续随机变量,p(z)是它的分布,我们求f(z)的期望。如果我们从p(z)中sampling一个数据集z(l),然后再求个平均来近似f(z)的期望so,问题就解决了,关键是如何从p(z)中做无偏的sampling。
为了说明sampling的作用,我们先举个EM的例子,最大似然计算中求分布的积分问题,我们在第九章提到了,完整数据的log似然函数是对隐变量Z的积分:

如果Z是比较复杂的分布,我们就需要对Z进行采样,从而得到:

具体就是从Z的后验分布中进行采样。

如果我们从贝叶斯的观点,把EM参数theta也当成一个分布的话,有下面一个IP算法:

I步,我们无法直接对P(Z|X)取样,我们可以先对P(theta|X)取样,然后再对Z的后验分布进行取样:

P步,利用上一步对P(Z|X)的

内容概要:本文深入探讨了切片采样(Slice Sampling)作为一种高效的自适应马尔可夫链蒙特卡洛(MCMC)方法,其核心思想是从密度函数曲线下的区域均匀采样,交替进行垂直方向和水平“切片”的均匀采样。文章详细介绍了单变量、多变量切片采样的实现,并提出了多种改进技术,如反射切片采样、自适应步长调整、局部二次近似、过松弛技术和动态反射采样等。这些技术旨在克服传统MCMC方法(如Gibbs采样和Metropolis算法)的局限性,如步长不适应局部密度特性、随机游走行为导致效率低下等问题。文中还通过多个测试案例验证了这些改进方法的有效性,展示了它们在处理复杂分布(如多峰分布、高维相关分布、层次贝叶斯模型)时的优越性能。此外,文章进一步探讨了自适应拒绝采样(ARS)及其扩展ARMS、自适应Metropolis算法等其他MCMC技术,并将切片采样作为通用MCMC框架进行了深度解析,强调了其黑箱兼容性、调参简易性和自适应效率。 适合人群:具备一定概率统计和编程基础的研究人员和工程师,特别是对贝叶斯推断、MCMC方法及其应用感兴趣的读者。 使用场景及目标:①研究人员希望通过自适应MCMC方法提高采样效率;②工程师需要在实际项目中实现高效的贝叶斯模型参数估计;③学习者希望深入了解MCMC算法的实现细节及其改进策略;④解决传统MCMC方法在处理复杂分布时遇到的问题,如随机游走、步长选择等。 其他说明:本文不仅提供了理论分析,还附有详细的代码实现和测试案例,便于读者理解和实践。文中涉及的技术和方法对处理高维、复杂相关结构的数据具有重要价值,特别是在机器学习、统计建模等领域有着广泛的应用前景。
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