计算理论第四章——可判定性

计算理论第四章——可判定性

一、 可判定性语言

与正则语言相关的可判定性

（1）$A_{DFA}$是一个可判定语言

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ADFA={<B,w>∣B是DFA并且接受w}A_{DFA}=\left\{<B,w>|B是DFA并且接受w\right\}ADFA​={<B,w>∣B是DFA并且接受w}

识别$A_{DFA}$的图灵机$M$

$M$="对于输入$<B,w>$,其中$B$是$DFA$,$w$是字符串：

1. 在输入$w$上运行$B$

2. 如果模拟以接收状态结束，则接受；如果模拟以非接收状态接受，则拒绝"

（2）$A_{NFA}$是一个可判定语言

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ANFA={<B,w>∣B是NFA且接受w}A_{NFA}=\left\{<B,w>|B是NFA且接受w\right\}ANFA​={<B,w>∣B是NFA且接受w}

识别$A_{NFA}$的图灵机S

$S$="对于输入$<B,w>$,$B$是$NFA$,$w$是串:

1. 将$NFA$ $B$转化为$DFA$ $C$
2. 在输入<C,w>上运行识别$A_{DFA}$的图灵机M
3. 如果$M$接受，则接受；如果$M$拒绝，则拒绝"

（3）$A_{REX}$是一个可判定语言

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AREX={<R,w>∣R是正则表达式，w是串，R派生w}A_{REX}=\left\{<R,w>|R是正则表达式，w是串，R派生w\right\}AREX​={<R,w>∣R是正则表达式，w是串，R派生w}

识别$A_{REX}$的图灵机$P$

$P$="对于输入$<R,w>$，$R$是正则表达式，$w$是串

1. 将$R$转化为$NFA$ $A$

2. 在输入$<A,w>$上运行识别$A_{NFA}$的图灵机M

3. 如果$M$接受，则接受；如果$M$拒绝，则拒绝"

（4）$E_{DFA}$是一个可判定语言

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EDFA={<A>∣A是一个DFA且A接受的语言为空}E_{DFA}=\left\{<A>|A是一个DFA且A接受的语言为空\right\}EDFA​={<A>∣A是一个DFA且A接受的语言为空}

识别$E_{DFA}$的图灵机$T$

$T$="对于输入$<A>$，A是图灵机

1. 标记A的初始状态

2. 重复以下操作，直到没有状态可被标记

3. 对于一个状态，如果有一个到达它的转移是来源于一个已被标记过的状态，那么标记这个状态

4. 如果没有接受状态被标记，那么接受，否则拒绝“

（5）$E{Q}_{DFA}$是一个可判定语言

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EQDFA={<A,B>∣A,B都是DFA,且L(A)=L(B)}EQ_{DFA}=\left\{<A,B>|A,B都是DFA,且L(A)=L(B)\right\}EQDFA​={<A,B>∣A,B都是DFA,且L(A)=L(B)}

识别$L(A)=L(B)$，相当于识别$L(C)=(L(A)\cap \overline{L}(B))\cup (\overline{L}(A)\cap L(B))$为空

识别$E{Q}_{DFA}$的图灵机$F$

$F$="对于输入$<A,B>$，A和B都是DFA

1. 根据描述构造DFA C

2. 在输入$<C>$上运行识别$E_{DFA}$的图灵机$T$

3. 如果T接受，则接受；如果T拒绝，则拒绝"

与上下文无关语言相关的可判定性

（1）$A_{CFG}$是一个可判定语言

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ACFG={<G,w>∣G为上下文关文法且能派生出w}A_{CFG}=\left\{<G,w>|G为上下文关文法且能派生出w\right\}ACFG​={<G,w>∣G为上下文关文法且能派生出w}

识别$A_{CFG}$的图灵机$S$

$S$="对于输入<G,w>，其中$G$为上下文无关文法，$w$为串

1. 将$G$转化为一个与之等价的$CNF{G}_1$

2. 列出所有$2n-1$步派生的结果，$n$为$w$的长度。若n = 0 , 列出所有一步之类的派生结果

3. 如果在这些派生结果中有$w$，则接受；否则，拒绝"

（2）$E_{CFG}$是一个可判定语言

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$E_{CFG}$={<G>∣G为上下文无关语言且L(G)=∅}\left\{<G>|G为上下文无关语言且L(G)=\varnothing \right\}{<G>∣G为上下文无关语言且L(G)=∅}

识别$E_{CFG}的图灵机为R$

$R$="对于输入$<G>$，其中G为上下文关文法

1. 将$G$中的终结符都做上标记

2. 重复以下操作，直至没有变量可以标记

3. 如果$G$有规则$A\to U_1{U}_2...U_k$，且$U_1,U_2,...,U_k$中的每个符号都已经作过标记，则$A$做标记

4. 如果被标记的变量中不包含初始变量，那么接受；否则拒绝"

二、不可判定性

如果一个集合$A$是有限的或者与$N$具有相同的规模，则称$A$是可数的。

存在不能被图灵机识别的语言

证明：

由所有图灵机组成的集合是可数的，每个图灵机有一个编码，编码都是$\Sigma$上的字符串。先写下长度为1的字符串，在写下长度为2的字符串,……。将这个排列与0,1,2,……进行对应，这样就有一个从图灵机编码到$N$的对应关系，则所有图灵机组成的集合是可数的。

由所有语言组成的集合是不可数的。

首先无限循环的二进制序列是不可数的，以$\beta$记所有无限循环的二进制序列组成的集合。

设$ϝ$为字母表$\Sigma$上所有语言组成的集合。有Σ∗={s1,s2,⋅⋅⋅}\Sigma^{*}=\left\{s_1,s_2,···\right\}Σ∗={s1​,s2​,⋅⋅⋅}，对于任一语言$A\in ϝ$，在$\beta$中都有唯一编码。如果$s_i\notin A$，则编码的第$i$位为零。所以$ϝ$与$\beta$存在一个一一对应的关系。所以所有语言组成的结合是不可数的。

既然图灵机是可数的，所有语言组成的集合是不可数的，那么就会存在不能被图灵机识别的语言。

$A_{TM}$是不可判定语言

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ATM={<M,w>∣M是一个图灵机且接受w}A_{TM}=\left\{<M,w>|M是一个图灵机且接受w\right\}ATM​={<M,w>∣M是一个图灵机且接受w}

证明：

设H是$A_{TM}$的判定器，即：
$$H(<M,w>)=\{\begin{array}{l}接受如果M接受w\\ 拒绝如果M拒绝w\end{array}$$
现在设计一个图灵机$D$
$$D(<M>)=\{\begin{array}{l}接受如果M接受<M>\\ 拒绝如果M不接受<M>\end{array}$$
那么有
$$D(<D>)=\{\begin{array}{l}接受如果D不接受<D>\\ 拒绝如果D接受<D>\end{array}$$
存在矛盾。所以$A_{TM}$是不可判别的

• 一个语言是图灵可判别的的，当且仅当它是图灵可识别的和图灵补可识别的
• $\overline{A_{TM}}$是不可识别的