向量的点乘和叉乘区别及几何意义

向量点乘和叉乘的区别:向量点乘结果是标量,是两个向量在一个方向的累计结果,结果只保留大小属性,抹去方向属性,就相等于降维;向量叉乘,是这这两个向量平面上,垂直生成新的向量,大小是两个向量构成四边形的面积。相等于生维。这是运算所需要,向量加和减都是在同一纬空间操作的,如果要想实现维度的变化就要在向量的乘法做出定义。

向量点乘(内积):

点乘(Dot Product)的结果是点积,又称数量积或标量积(Scalar Product),结果就是个数,把方向给抹去了。向量是有两个属性的:大小和方向,点乘的结果就是得到一个标量。相等于降维了。
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定义为:对两个向量对应位置上的值相乘再相加的操作,其结果即为点积。
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从这个结果来看,就知道没有方向属性,只是数字之间的运行,最终结果也是数字。

从几何角度看,点积是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。点乘的结果表示向量A在向量B方向上的投影与向量B模的的乘积,点乘的意义就是两个向量在一个向量方向的共同积累的结果,但是这种结果只保留的大小属性,抹去了方向这个属性;同时反映了两个向量在方向上的相似度,结果越大越相似。基于结果可以判断这两个向量是否是同一方向,是否正交垂直,具体对应关系为:

.则方向基本相同,夹角在0°到90°之间

.则正交,相互垂直

.则方向基本相反,夹角在90°到180°之间
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我们最常见的例子就是就是力对物体做功。如图所示,一个力F施加于木块上,使得它沿着水平桌面向前移动s的距离,那么求F的功。根据功的定义,功是力与物体在力的方向上的位移的乘积。这个说明什么,说明了功是力对物体在空间上的积累的物理量。那么根据这个定义就有两种分解方法如图所示。
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向量叉乘:(外积)

叉乘(Cross Product)又称向量积(Vector Product)。

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定义为

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从结果我们看出还保留向量的基本单位i,j,k;所以结果也是一个向量,既有大小,又有方向,只是这个方向人为定义出来,垂直于这两个向量构成的平面,符合右手定则。

几何意义:

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以向量a和向量b构成一个平行四边形,那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的面积相等。

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