lambda 演算学习

最新推荐文章于 2020-05-11 01:05:13 发布

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#lambda #语言 #function #application #lisp #框架

本文介绍了λ演算的基础概念，包括λ表达式、λ-项中的自由变量与绑定变量。重点阐述了α-变换（变量换名规则）和β-归约（函数应用或代入）。λ演算在函数式编程、并发程序理论及组合范畴文法等领域有广泛应用。

前言

因为最近在学习组合范畴文法，也就是CCG（combinatory categorial grammar）。这种文法在表达语义的过程中使用到一些关于lambda演算的一些知识，所以在网上找到一些资料错略的学习了一下。在这里把所学习的内容整理一下以便以后学习参考。

lambda演算（lambda calculus 或者 λ-calculus）

先简单介绍一下历史。当年莱布尼茨leibniz有两个理想：（1）希望能够创造一种能够描述任何问题的语言，（2）找到一种能够解决用这种通用语言描述的问题的通用方法，这个问题也就是Entscheidungsproblem （这是德语，其实就是decision problem，我们经常说的判定问题）。对于第二个遐想，1936年Church发明了一种形式系统也就是lambda calculus，并指出判定问题是无解的。lambda演算还能够清晰的定义什么是一个可计算的函数。之后，lambda演算对函数式的编程语言（如Lisp）的发展有很重要的影响，并且在λ-演算的基础上，发展起来的π-演算、χ-演算，成为近年来的并发程序的理论工具之一，许多经典的并发程序模型就是以π-演算为框架的。

1 lambda演算是什么？

lambda演算是一个形式系统（形式系统主要是由形式语言加上推理规则或转换规则构成的集合），它主要是被用来研究函数定义，函数应用和递归。简单点说，lambda演算就是一个小的形式系统，它主要表达了计算机计算中两个概念：“代入”和“置换”。“代入”通俗点解释就是和我们平常接触的函数调用类似，比如用实参代入到形参。“置换”一般理解为变量换名规则。“代入”就是后面要讲到的lambda演算中的β-规约，而“置换”相当于lambda演算中的α--变换。

2 lambda演算相关的概念和定义

lambda表达式主要由以下元素构成：

变量： v₁, v₂, ..., v_n, ...

抽象符号： λ 和 . （一个点）

左右括号 ( )

还有两个:规约：→ 和等价：=

lambda表达式的集合 Λ, 递归定义如下：

(1)如果x是一个变量，那么 x ∈ Λ

(2)如果 x 是一个变量，且 M ∈ Λ, 那么 (λx.M) ∈ Λ

(3)如果 M, N ∈ Λ, 那么 (M N) ∈ Λ