单调队列学习笔记

原创已于 2023-10-20 16:21:51 修改 · 179 阅读

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#学习 #笔记 #数据结构

于 2023-10-20 14:06:40 首次发布

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文章介绍了单调队列的数据结构，其用于优化动态规划中的插入和查询操作，特别适用于处理定长连续子区间问题和滑动窗口问题。通过队列的维护，减少了时间复杂度至O(n)。代码示例展示了如何使用单调队列求解相关问题。

简介

单调队列是一种特殊的双端队列（但是不要用 deque 存储），其内部元素具有单调性。

单调队列有如下操作：

插入：新元素从队尾插入会破坏单调性，所以删除队尾元素，直到找到插入后不会破坏单调性的位置，再将元素插入。
获取最大（最小）值：访问队首元素。

单调队列优化 DP 时，每个元素通常存储两个值：

在原数列的位置，即下标
在 DP 中的状态值

由于每个元素最多出队一次，进队一次，所以时间复杂度为 $O (n)$ 。

应用

定长连续子区间问题

滑动窗口

朴素算法

直接扫描，枚举起始元素 $a_x$ ，然后求区间 $a_x,a_x+k-1)$ 的最大值和最小值。

时间复杂度为 $O (nk)$ 。

线段树或RMQ

时间复杂度为 $O(n\log n)$ 。

单调队列

对于相邻两个区间 $(l, r)$ 和 $(l + 1, r + 1)$ ，有如下性质：

序列： $a_l,a_{l+1},a_{l+2},\cdots,a_{r-l},a_r,a_{r+1}$ 。

$\max(a_l,a_{l+1},a_{l+2},\cdots,a_{r-l},a_r)=\max(a_l,\max(a_{l+1},a_{l+2},\cdots,a_{r-l},a_r))$

$\max(a_{l+1},a_{l+2},\cdots,a_{r-l},a_r,a_{r+1})=\max(\max(a_{l+1},a_{l+2},\cdots,a_{r-l},a_r),a_{r+1})$

两个方程有相同的部分，于是乎，在求 $(l + 1, r + 1)$ 的最值的时候，无需在扫描一次，只有当上一次的最值在 $a_l$ 上时才需要重新扫描。

除此之外，对任意的 $l\leq i\leq j\leq r$ ，如果 $a_i<a_j$ ，那么在区间向右移动时，最大值一定不会落在 $a_i$ 上。

当将区间从 $(l, r)$ 移动到 $(l + 1, r + 1)$ 时，若队首元素不在 $(l + 1, r + 1)$ 中，删除队首，将 $a_{r+1}$ 插入到单调队列中合适的位置。

时间复杂度为 $O (n)$ 。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long

const int maxn=1e6+5;
int q1[maxn],q2[maxn],a[maxn];

signed main()
{
    int n,k;cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    int h1=1,t1=0,h2=1,t2=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(h1<=t1&&q1[h1]+k<=i) h1++;
        while(h1<=t1&&a[q1[t1]]>a[i]) t1--;
        q1[++t1]=i;
        if(i>=k) cout<<a[q1[h1]]<<' ';
    }
    cout<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(h2<=t2&&q2[h2]+k<=i) h2++;
        while(h2<=t2&&a[q2[t2]]<a[i]) t2--;
        q2[++t2]=i;
        if(i>=k) cout<<a[q2[h2]]<<' ';
    }
    return 0;
}